Matematică

Polinoame — Subiectul II. 2

mediuBacalaureat 2026 · Varianta 3 · științe ale naturii

Polinoame

Se consideră polinomul

f = X^{3} - a X + 2 + a

, unde

a

este număr real.

a)
Arătați că $f (1) = 3$ , pentru orice număr real $a$ .
b)
Determinați numărul real $a$ pentru care polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $g = X + 2$ .
c)
Determinați numărul real $a$ pentru care $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3} = x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3}$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ și $x_{3}$ sunt rădăcinile polinomului $f$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a arăta că $f (1) = 3$ , trebuie să înlocuiți valoarea $X = 1$ în expresia polinomului $f (X)$ .
a)
Substituiți $X = 1$ în polinomul $f (X) = X^{3} - a X + 2 + a$ .
a)
Calculați $1^{3} - a \cdot 1 + 2 + a$ și simplificați expresia obținută pentru a demonstra că rezultatul este $3$ .
b)
Un polinom $f (X)$ este divizibil cu $X - c$ dacă și numai dacă $c$ este o rădăcină a polinomului, adică $f (c) = 0$ . Aceasta este Teorema Factorului.
b)
Polinomul $g = X + 2$ poate fi scris ca $X - (- 2)$ . Aplicați Teorema Factorului, punând condiția ca $f (- 2) = 0$ .
b)
Înlocuiți $X = - 2$ în expresia polinomului $f (X)$ și egalați rezultatul cu zero pentru a determina valoarea lui $a$ .
c)
Folosiți relațiile lui Viète pentru a exprima suma rădăcinilor și suma produselor rădăcinilor luate câte două. De asemenea, țineți cont că fiecare rădăcină $x_{i}$ verifică ecuația $f (x_{i}) = 0$ .
c)
Din $f (x_{i}) = 0$ , rezultă că $x_{i}^{3} - a x_{i} + 2 + a = 0$ , deci $x_{i}^{3} = a x_{i} - (2 + a)$ . Sumați aceste relații pentru $i = 1, 2, 3$ pentru a obține o expresie pentru $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3}$ .
c)
Folosiți relațiile lui Viète pentru $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ și $x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3}$ și înlocuiți-le în ecuația dată, după ce ați calculat $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3}$ , pentru a găsi valoarea lui $a$ .

Polinoame, din alte variante, de la ușor la greu.