Matematică

Matrice și sisteme — Subiectul II. 1

mediuBacalaureat 2026 · Varianta Model · mate-info

Matrice și sistemeEcuații și inecuații

Se consideră matricea

A (a) = a 12 011 - 2 1 - a - 2

și sistemul de ecuații

⎩ ⎨ ⎧ a x - 2 z = 4 x + y + (1 - a) z = 3 2 x + y - 2 z = 5

, unde

a

este număr real.

a)
Arătați că $det (A (0)) = 2$ .
b)
Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care matricea $A (a)$ este inversabilă.
c)
Pentru $a = 2$ , arătați că $x_{0} z_{0} + y_{0} \geq 0$ , pentru orice soluție $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ a sistemului de ecuații, cu $x_{0}, y_{0}$ și $z_{0}$ numere reale.

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula $det (A (0))$ , primul pas este să substitui valoarea $a = 0$ în matricea $A (a)$ pentru a obține matricea specifică $A (0)$ .
a)
Reține că determinantul unei matrici de ordinul 3, precum $A (0)$ , se poate calcula folosind regula lui Sarrus sau dezvoltarea după o linie/coloană.
a)
Aplică regula lui Sarrus pentru matricea $A (0) = 012011 - 2 1 - 2$ .
b)O matrice este inversabilă dacă și numai dacă determinantul său este diferit de zero.
b)
Calculează determinantul matricii $A (a)$ în funcție de $a$ . Folosește regula lui Sarrus sau dezvoltarea după o linie/coloană.
b)
Egalează determinantul obținut cu zero pentru a găsi valorile lui $a$ pentru care matricea NU este inversabilă, apoi exclude aceste valori din mulțimea numerelor reale.
c)
Începe prin a scrie sistemul de ecuații specific pentru cazul în care $a = 2$ .
c)
Rezolvă sistemul de ecuații obținut pentru $a = 2$ . Poți folosi metoda substituției, a reducerii sau metoda lui Cramer, dacă determinantul sistemului este nenul. Dacă sistemul este compatibil nedeterminat, exprimă soluțiile în funcție de un parametru.
c)
Odată ce ai exprimat $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ în funcție de un parametru (sau ca valori unice), substituie aceste expresii în inegalitatea $x_{0} - z_{0} + y_{0} \geq 0$ și simplifică pentru a arăta că este adevărată. Poate vei obține o expresie de tipul unui pătrat perfect.

Matrice și sisteme, din alte variante, de la ușor la greu.