Matematică

Matrice și sisteme — Subiectul II. 1

mediuBacalaureat 2026 · Varianta 3 · mate-info

Matrice și sistemeEcuații și inecuații

Se consideră matricea

A (a) = 1 a 0 a 32 a a 1

și sistemul de ecuații liniare

⎩ ⎨ ⎧ x + a y + a z = 1 a x + 3 y + a z = 0 2 y + z = 0

, unde

a

este număr real.

a)
Arătați că $det (A (1)) = 2$ .
b)
Arătați că, pentru orice număr real $a$ , sistemul de ecuații are soluție unică.
c)
Determinați numărul natural nenul $a$ pentru care sistemul de ecuații are soluția $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ , cu $z_{0} = n x_{0}$ , unde $n$ este număr natural.

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a rezolva acest subpunct, trebuie să știi cum se calculează determinantul unei matrici de ordinul 3.
a)
Folosește regula lui Sarrus sau dezvoltarea determinantului după o linie sau o coloană pentru a calcula $det (A (1))$ .
a)
Înlocuiește $a = 1$ în matricea $A (a)$ pentru a obține matricea $A (1) = 110132111$ , apoi aplică formula determinantului.
b)Un sistem de ecuații liniare are soluție unică dacă și numai dacă determinantul matricei coeficienților sistemului este nenul.
b)
Calculează determinantul matricei coeficienților sistemului, care este $det (A (a))$ , unde $A (a) = 1 a 0 a 32 a a 1$ .
b)
După ce ai calculat $det (A (a))$ , arată că expresia obținută este întotdeauna strict pozitivă pentru orice $a \in R$ , de exemplu, prin completare la pătrat.
c)
Pentru a determina $x_{0}$ și $z_{0}$ , poți folosi regula lui Cramer, având în vedere că sistemul are soluție unică (conform subpunctului b).
c)
Calculează $Δ_{x}$ și $Δ_{z}$ (determinanții asociați lui $x$ și $z$ ) și apoi exprimă $x_{0} = \frac{Δ _{x}}{d e t ( A ( a ))}$ și $z_{0} = \frac{Δ _{z}}{d e t ( A ( a ))}$ .
c)
Înlocuiește expresiile pentru $x_{0}$ și $z_{0}$ în relația $z_{0} = n x_{0}$ și analizează ecuația rezultată, ținând cont că $a$ și $n$ sunt numere naturale nenule.

Matrice și sisteme, din alte variante, de la ușor la greu.