Matematică

Matrice și sisteme — Subiectul II. 1

mediuBacalaureat 2026 · Varianta Simulare · mate-info

Matrice și sistemeEcuații și inecuații

Se consideră matricea

A (a) = a 13 1 - 1 2 1 a 1

și sistemul de ecuații liniare

⎩ ⎨ ⎧ a x + y + z = 2 a x - y + a z = - 4 3 x + 2 y + z = 8

, unde

a

este număr real.

a)
Arătați că $det (A (1)) = 4$ .
b)
Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care matricea $A (a)$ este inversabilă.
c)
Considerăm $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ soluția sistemului de ecuații liniare pentru $a = 1$ . Pentru $a = 2$ , determinați soluțiile $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ale sistemului de ecuații liniare pentru care $x_{0} y_{0} = y_{1}$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula $det (A (1))$ , primul pas este să înlocuiești valoarea $a = 1$ în matricea $A (a)$ pentru a obține matricea specifică $A (1)$ .
a)
Reține că determinantul unei matrice de ordinul 3, cum este $A (1)$ , poate fi calculat folosind regula lui Sarrus sau dezvoltarea după o linie/coloană.
a)Aplică regula lui Sarrus: adună produsele elementelor de pe diagonalele principale și paralele cu acestea, apoi scade produsele elementelor de pe diagonalele secundare și paralele cu acestea.
b)
O matrice $A (a)$ este inversabilă dacă și numai dacă determinantul său este diferit de zero.
b)
Calculează determinantul matricei $A (a)$ în funcție de $a$ . Vei obține o expresie polinomială în $a$ .
b)
Egalizează determinantul cu zero, $det (A (a)) = 0$ , și rezolvă ecuația rezultată pentru a găsi valorile lui $a$ pentru care matricea NU este inversabilă. Mulțimea căutată va fi $R$ minus aceste valori.
c)
Acest subpunct are două părți principale: găsirea soluției $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ pentru $a = 1$ și apoi găsirea soluțiilor $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ pentru $a = 2$ care satisfac o condiție suplimentară.
c)
Pentru $a = 1$ , sistemul este de tip Cramer (determinantul matricei sistemului este nenul, conform subpunctului a)). Folosește regula lui Cramer pentru a găsi $y_{1}$ . Pentru $a = 2$ , determinantul matricei sistemului este nul (verifică din subpunctul b)), deci va trebui să rezolvi sistemul direct, de exemplu prin metoda substituției sau a reducerii, pentru a găsi soluția generală $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ în funcție de un parametru.
c)
După ce ai găsit $y_{1}$ și forma generală a soluțiilor $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ pentru $a = 2$ (exprimată în funcție de un parametru, să zicem $α$ ), înlocuiește $x_{0}$ și $y_{0}$ în condiția $x_{0} y_{0} = y_{1}$ și rezolvă ecuația rezultată pentru a determina valorile parametrului $α$ . Apoi, folosește aceste valori pentru a găsi soluțiile concrete $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ .

Exersează același capitol

Matrice și sisteme, din alte variante, de la ușor la greu.

Vezi toate cele 102 exerciții din Matrice și sisteme →