Matematică

Matrice și sisteme — Subiectul II. 1

mediuBacalaureat 2026 · Varianta 7 · mate-info

Matrice și sisteme

Se consideră matricele

I_{3} = 100010001

și

A (a) = 2 a - 1 00 2 - 1 2 1 - a 2 a

, unde

a

este număr real.

a)
Arătați că $det (A (3)) = 0$ .
b)
Arătați că $A (a) \cdot A (a) = (2 a - 1) A (a)$ , pentru orice număr real $a$ .
c)
Se consideră matricea $B (n) = A (n) + n I_{3}$ , unde $n$ este număr natural. Determinați numărul natural $n$ pentru care $A (n) \cdot B (n) = 2 n^{2} A (n)$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a calcula determinantul unei matrici de ordinul 3, puteți folosi regula lui Sarrus sau dezvoltarea după o linie/coloană.
a)
Mai întâi, înlocuiți $a = 3$ în expresia matricei $A (a)$ pentru a obține matricea $A (3)$ .
a)
Calculați $det (A (3))$ aplicând regula lui Sarrus elementelor matricei obținute.
b)
Pentru a verifica egalitatea, trebuie să efectuați înmulțirea matricială $A (a) \cdot A (a)$ și să comparați rezultatul cu $(2 a - 1) A (a)$ .
b)
Calculați fiecare element al matricei $A (a) \cdot A (a)$ folosind definiția înmulțirii matricelor.
b)
După ce ați calculat $A (a) \cdot A (a)$ , observați că puteți factoriza expresia $(2 a - 1)$ din fiecare element al matricei rezultate pentru a obține $(2 a - 1) A (a)$ .
c)
Înlocuiți expresia lui $B (n)$ în ecuația dată și folosiți proprietățile înmulțirii matricelor.
c)
Dezvoltați produsul $A (n) \cdot (A (n) + n I_{3})$ și folosiți rezultatul de la subpunctul b) pentru $A (n) \cdot A (n)$ , precum și proprietatea $A (n) \cdot I_{3} = A (n)$ .
c)
Simplificați ecuația obținută la o formă de tipul $k \cdot A (n) = 2 n^{2} A (n)$ , apoi egalați coeficienții scalari pentru a determina valoarea lui $n$ .

Matrice și sisteme, din alte variante, de la ușor la greu.