Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ° y = 1/2xy - x - y + 4. Arătați că numărul N = m ° n este natural par, pentru orice numere naturale nenule pare m și n.

Matematică

Structuri algebrice — Subiectul II. 4

mediuBacalaureat 2024 · Varianta Model · pedagogic

Structuri algebrice

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

x \circ y = \frac{1}{2} x y - x - y + 4

.
Arătați că numărul

N = m \circ n

este natural par, pentru orice numere naturale nenule pare

m

și

n

0/3

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

1
Pentru a demonstra proprietatea cerută, începe prin a exprima numerele naturale nenule pare $m$ și $n$ sub forma lor generală, adică $m = 2 k$ și $n = 2 p$ , unde $k$ și $p$ sunt numere naturale nenule.
2
Odată ce ai substituit $m$ și $n$ în legea de compoziție, încearcă să factorizezi expresia $x \circ y = \frac{1}{2} x y - x - y + 4$ într-o formă mai simplă, de tipul $A (x - a) (y - b) + C$ . Această formă te va ajuta să manipulezi mai ușor expresia.
3
După ce ai obținut forma simplificată a lui $m \circ n$ , analizează termenii. Reține că $k$ și $p$ sunt numere naturale nenule, deci $k - 1$ și $p - 1$ sunt numere naturale. Folosește această observație pentru a arăta că rezultatul este un număr natural par.

Structuri algebrice, din alte variante, de la ușor la greu.