Matematică

Triunghiul — Subiectul III. 4

greuEvaluare Națională 2021 · Varianta 3

Triunghiul

În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral

A B C

, cu

A B = 3

cm și înălțimea

A D

, unde punctul

D

se află pe latura

B C

. Punctul

M

aparține laturii

A B

, astfel încât

A M = 1

cm. Paralela prin punctul

M

la dreapta

A C

intersectează dreapta

A D

în punctul

Q

și dreapta

B C

în punctul

P

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Observă relația de paralelism dată ( $M P ∥ A C$ ) și cum aceasta influențează unghiurile triunghiului $B M P$ în raport cu unghiurile triunghiului $A B C$ .
a)
Folosește proprietățile triunghiului echilateral $A B C$ pentru a determina măsurile unghiurilor sale. Apoi, aplică teorema unghiurilor corespondente sau alterne interne pentru a deduce natura triunghiului $B M P$ .
a)
Calculează lungimea laturii $B M$ a triunghiului $B M P$ , știind că $A B = 3$ cm și $A M = 1$ cm. Apoi, folosește proprietatea triunghiului $B M P$ pentru a-i calcula perimetrul.
b)
AD este înălțime în triunghiul echilateral $A B C$ . Ce proprietăți are $A D$ în legătură cu latura $B C$ și unghiurile triunghiului?
b)
Calculează lungimea segmentului $B D$ . Folosește apoi proprietatea triunghiului $B M P$ (stabilită la subpunctul a) pentru a determina lungimea segmentului $B P$ și, implicit, lungimea segmentului $D P$ .
b)
În triunghiul dreptunghic $D P Q$ , determină măsura unghiului $∠ P Q D$ folosind faptul că $M Q ∥ A C$ și proprietățile unghiurilor formate de paralele tăiate de o secantă. Apoi, aplică funcții trigonometrice sau proprietățile triunghiului $3 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 9 0^{\circ}$ pentru a calcula $P Q$ .