Matematică

Numere reale și radicali — Subiectul III. 2

greuEvaluare Națională 2021 · Varianta 3

Numere reale și radicaliNumere naturale și divizibilitate

Se consideră expresia

E (x) = (2 x - 1)^{2} - (2 x - 4) (x + 2) + (x + 3)^{2}

, unde

x

este număr real.

a)
Arată că $E (x) = 3 x^{2} + 2 x + 18$ , pentru orice număr real $x$ .
b)
Demonstrează că numărul natural $A = E (n) + n$ este multiplu de $6$ , pentru orice număr natural $n$ .

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a arăta că expresia $E (x)$ este egală cu forma dată, trebuie să dezvolți fiecare termen din expresia inițială și apoi să reduci termenii asemenea.
a)
Folosește formulele de calcul prescurtat $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ și $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ , precum și proprietatea de distributivitate pentru înmulțirea a două paranteze.
a)
Dezvoltă $(2 x - 1)^{2}$ , $(x + 3)^{2}$ și produsul $(2 x - 4) (x + 2)$ , având grijă la semnul minus din fața celui de-al doilea termen al expresiei $E (x)$ .
b)
Pentru a demonstra că un număr natural $A$ este multiplu de 6, trebuie să arăți că $A$ este divizibil atât cu 2, cât și cu 3.
b)
Substituie expresia $E (n)$ obținută la subpunctul a) în $A = E (n) + n$ și simplifică. Vei obține o expresie de forma $3 n^{2} + 3 n + 18$ .
b)
Factorizează expresia obținută pentru $A$ și observă că $3 n^{2} + 3 n + 18 = 3 (n^{2} + n + 6)$ . Acum trebuie să demonstrezi că $n^{2} + n + 6$ este întotdeauna un număr par, indiferent de paritatea lui $n$ .