Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2025 · Varianta 9 · tehnologic

Primitive și integraleLimite și continuitateDerivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : (0, + \infty) \to R

f (x) = x - 1 + 2 ln x

a)
Arătați că $\int_{1}^{3} (f (x) - 2 ln x) d x = 2$ .
b)
Arătați că $\int_{1}^{e} \frac{f ( x ) - x + 1}{x} d x = 1$ .
c)
Determinați numărul real $a$ , știind că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g : (0, + \infty) \to R$ , $g (x) = 3 x (f (x) + 1)$ , axa $O x$ și dreptele de ecuații $x = 1$ și $x = 3$ este egală cu $a + 27 ln 3$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Începe prin a simplifica expresia de sub integrală folosind definiția funcției $f (x)$ .
a)
Substituie $f (x) = x - 1 + 2 ln x$ în integrală și vei observa că termenul $2 ln x$ se va reduce.
a)
Calculează integrala definită a funcției polinomiale rezultate, adică $\int_{1}^{3} (x - 1) d x$ .
b)
Simplifică expresia de sub integrală, înlocuind $f (x)$ cu forma sa explicită.
b)
După simplificare, vei obține o integrală de forma $\int_{1}^{e} \frac{2 l n x}{x} d x$ . Gândește-te la o substituție potrivită pentru a rezolva această integrală.
b)
Folosește substituția $u = ln x$ , de unde $d u = \frac{1}{x} d x$ , și ajustează limitele de integrare.
c)
Aria suprafeței plane delimitate de graficul unei funcții pozitive $h (x)$ , axa $O x$ și dreptele $x = c$ și $x = d$ este dată de integrala definită $\int_{c}^{d} h (x) d x$ .
c)
Determină forma explicită a funcției $g (x)$ înlocuind $f (x)$ și simplificând. Apoi, scrie integrala care reprezintă aria.
c)
Vei ajunge la o integrală care conține termeni de forma $\int x^{2} d x$ și $\int x ln x d x$ . Pentru $\int x ln x d x$ , aplică metoda integrării prin părți, folosind formula $\int u v^{'} d x = uv - \int u^{'} v d x$ . Apoi egalează rezultatul cu $a + 27 ln 3$ pentru a afla $a$ .

Limite și continuitate, din alte variante, de la ușor la greu.