Matematică

Derivate și funcții — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2025 · Varianta 1 · științe ale naturii

Derivate și funcțiiEcuații și inecuațiiNumere reale și radicali

Se consideră funcția

f : (0, + \infty) \to R

f (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + x + 2}

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{- 3 x ^{2} - x + 2}{( x ^{2} + x + 2 ) ^{2} x}$ , $x \in (0, + \infty)$ .
b)
Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+ \infty$ la graficul funcției $f$ .
c)
Determinați $a \in (0, + \infty)$ pentru care tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A (a, f (a))$ este paralelă cu axa $O x$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a calcula derivata unei funcții de forma unei fracții, folosiți regula de derivare a câtului de funcții.
a)
Formula de derivare a câtului este $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ . Identificați $u (x)$ și $v (x)$ și calculați derivatele lor separat.
a)
Calculați derivata lui $u (x) = 2 x$ și a lui $v (x) = x^{2} + x + 2$ , apoi înlocuiți în formula câtului și simplificați expresia obținută pentru a ajunge la forma cerută.
b)
Asimptota orizontală spre $+ \infty$ se determină calculând limita funcției când $x$ tinde la $+ \infty$ .
b)
Ecuația asimptotei orizontale este $y = lim_{x \to + \infty} f (x)$ .
b)
Calculați limita $lim_{x \to + \infty} \frac{2 x}{x ^{2} + x + 2}$ . Pentru a rezolva nedeterminarea, împărțiți atât numărătorul, cât și numitorul la cea mai mare putere a lui $x$ din numitor.
c)
O tangentă la graficul funcției este paralelă cu axa $O x$ dacă panta ei este zero.
c)
Panta tangentei la graficul funcției $f$ în punctul $A (a, f (a))$ este dată de valoarea derivatei funcției în acel punct, adică $f^{'} (a)$ .
c)
Egalați derivata $f^{'} (a)$ cu zero și rezolvați ecuația rezultată pentru a găsi valorile lui $a$ , ținând cont de domeniul de definiție al funcției.

Derivate și funcții, din alte variante, de la ușor la greu.