Matematică

Derivate și funcții — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2025 · Varianta 9 · mate-info

Derivate și funcțiiEcuații și inecuațiiNumere reale și radicali

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = \frac{x ^{2} + 6}{x ^{2} + 1}

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{x ( x ^{2} - 4 )}{( x ^{2} + 1 ) x ^{2} + 1}$ , $x \in R$ .
b)
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 0$ , situat pe graficul funcției $f$ .
c)
Arătați că $f (7 x) - f (x) \leq 22$ , pentru orice $x \in [0, 1]$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a calcula derivata unei funcții de forma unei fracții, folosiți regula de derivare a câtului.
a)
Formula pentru derivata câtului este $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ . De asemenea, amintiți-vă că $(g (x))^{'} = \frac{g ^{'} ( x )}{2 g ( x )}$ .
a)
Identificați $u = x^{2} + 6$ și $v = x^{2} + 1$ . Calculați $u^{'}$ și $v^{'}$ , apoi înlocuiți-le în formula derivatei câtului și simplificați expresia obținută.
b)Ecuația tangentei la graficul unei funcții într-un punct dat este determinată de valoarea funcției și a derivatei sale în acel punct.
b)
Formula ecuației tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_{0}$ este $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ .
b)
Calculați $f (0)$ înlocuind $x = 0$ în funcția originală și $f^{'} (0)$ înlocuind $x = 0$ în derivata calculată la subpunctul a), apoi introduceți aceste valori în formula ecuației tangentei.
c)Pentru a demonstra o inegalitate care implică valori ale funcției pe un interval, este util să analizați monotonia funcției și să-i determinați valorile extreme pe intervalele relevante.
c)
Studiați semnul derivatei $f^{'} (x)$ pentru a stabili intervalele de monotonie ale funcției $f$ . Observați că $x \in [0, 1]$ implică $7 x \in [0, 7]$ .
c)
Pe intervalul $[0, 1]$ , $f^{'} (x) \leq 0$ , deci $f$ este descrescătoare. Pe intervalul $[0, 7]$ , funcția $f$ este descrescătoare pe $[0, 2]$ și crescătoare pe $[2, 7]$ . Evaluați $f (0)$ , $f (1)$ , $f (2)$ și $f (7)$ pentru a stabili limitele superioare și inferioare pentru $f (x)$ și $f (7 x)$ pe intervalele corespunzătoare, apoi folosiți aceste limite pentru a demonstra inegalitatea.

Exersează același capitol

Derivate și funcții, din alte variante, de la ușor la greu.

Vezi toate cele 52 de exerciții din Derivate și funcții →