Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2025 · Varianta 5 · mate-info

Primitive și integraleEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : (0, + \infty) \to R

f (x) = 8 x^{3} + 1 + ln^{2} x

a)
Arătați că $\int_{1}^{2} (f (x) - ln^{2} x) d x = 31$ .
b)
Arătați că $\int_{1}^{e} \frac{f ( x ) - 8 x ^{3} - 1}{x} d x = \frac{1}{3}$ .
c)
Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră numărul $I_{n} = \int_{1}^{e^{2}} \frac{x ( l n x ) ^{n}}{f ( x ) - 8 x ^{3}} d x$ . Demonstrați că $I_{n + 2} + I_{n} \leq 2^{n - 1} (e^{4} - 1)$ , pentru orice număr natural nenul $n$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Primul pas este să înlocuiești expresia funcției $f (x)$ în integrala dată.
a)După înlocuire, observă ce termeni se reduc în interiorul integralei pentru a simplifica expresia de integrat.
a)
Calculează integrala definită a funcției polinomiale rezultate, folosind formula de integrare $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ .
b)
Începe prin a substitui expresia funcției $f (x)$ în numărătorul fracției din integrală.
b)
Simplifică numărătorul. Vei observa că unii termeni se anulează, lăsând o expresie simplă care implică $ln x$ .
b)
Pentru a calcula integrala $\int \frac{l n ^{2} x}{x} d x$ , poți folosi substituția $u = ln x$ , caz în care $d u = \frac{1}{x} d x$ , sau poți recunoaște că este de forma $\int u^{2} u^{'} d x$ .
c)
Simplifică mai întâi numitorul din expresia lui $I_{n}$ , adică $f (x) - 8 x^{3}$ , folosind expresia dată a funcției $f (x)$ .
c)
Calculează suma $I_{n + 2} + I_{n}$ . Adu termenii la un numitor comun și observă ce simplificări apar în numărător și numitor.
c)
Pentru a demonstra inegalitatea, analizează comportamentul funcției $ln x$ pe intervalul de integrare $[1, e^{2}]$ . Folosește o majorare pentru $(ln x)^{n}$ pe acest interval pentru a majora integrala $I_{n + 2} + I_{n}$ .

Primitive și integrale, din alte variante, de la ușor la greu.