Matematică

Structuri algebrice — Subiectul II. 2

mediuBacalaureat 2025 · Varianta 5 · mate-info

Structuri algebrice

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

x * y = 4 - \frac{1}{2} (x - 4) (y - 4)

a)
Arătați că $6 * 7 = 1$ .
b)
Determinați numărul real $x$ pentru care $x * (x + 4) = 6$ .
c)
Determinați tripletele $(m, n, p)$ de numere naturale, cu $m < n < p$ , pentru care $m * n * p = 3$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula $6 * 7$ , trebuie să înlocuiești valorile $x = 6$ și $y = 7$ în formula dată a legii de compoziție.
a)
Scrie explicit expresia pentru $6 * 7$ folosind definiția $x * y = 4 - \frac{1}{2} (x - 4) (y - 4)$ .
a)
Efectuează calculele pas cu pas, începând cu parantezele: $(6 - 4)$ și $(7 - 4)$ . Apoi înmulțește rezultatele și continuă calculul.
b)
Pentru a determina $x$ , va trebui să transformi ecuația $x * (x + 4) = 6$ într-o ecuație algebrică obișnuită, folosind definiția legii de compoziție.
b)
Înlocuiește $y$ cu $(x + 4)$ în formula $x * y = 4 - \frac{1}{2} (x - 4) (y - 4)$ și egalează rezultatul cu $6$ .
b)
Simplifică expresia $(x + 4) - 4$ și apoi rezolvă ecuația rezultată pentru $x$ . Vei obține o ecuație de gradul întâi sau doi.
c)
Observă structura legii de compoziție $x * y$ . Poți face o substituție pentru a simplifica forma acesteia, de exemplu, considerând $f (x) = x - 4$ .
c)
Dacă $f (x) = x - 4$ , atunci $x * y - 4 = - \frac{1}{2} (x - 4) (y - 4)$ , adică $f (x * y) = - \frac{1}{2} f (x) f (y)$ . Folosește această proprietate pentru a calcula $f (m * n * p)$ .
c)
Vei ajunge la o ecuație de forma $(m - 4) (n - 4) (p - 4) = K$ . Găsește valoarea lui $K$ și apoi, ținând cont că $m, n, p$ sunt numere naturale și $m < n < p$ , identifică tripletele de factori întregi ai lui $K$ care respectă condițiile.

Structuri algebrice, din alte variante, de la ușor la greu.