Matematică

Limite și continuitate — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2025 · Varianta 5 · mate-info

Limite și continuitateDerivate și funcțiiNumere reale și radicali

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = (x - 5) x^{2} + 2

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula derivata unei funcții de forma $f (x) = u (x) v (x)$ , trebuie să aplicați regula de derivare a produsului.
a)
Formula pentru derivata produsului este $(u \cdot v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , iar derivata unei funcții de tipul $g (x)$ este $\frac{g ^{'} ( x )}{2 g ( x )}$ .
a)
Calculați $u^{'} (x)$ și $v^{'} (x)$ pentru $u (x) = x - 5$ și $v (x) = x^{2} + 2$ , apoi înlocuiți în formula produsului și aduceți la un numitor comun pentru a obține forma cerută.
b)Intervalele de monotonie ale unei funcții se determină studiind semnul primei derivate a funcției.
b)
Identificați punctele critice ale funcției, adică rădăcinile ecuației $f^{'} (x) = 0$ , și apoi analizați semnul lui $f^{'} (x)$ pe intervalele determinate de aceste puncte.
b)
Rezolvați ecuația $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ pentru a găsi rădăcinile numărătorului lui $f^{'} (x)$ și construiți un tabel de semn pentru $f^{'} (x)$ .
c)
Această limită este de forma $1^{\infty}$ , care se calculează folosind formula $lim_{x \to x_{0}} (1 + u (x))^{v (x)} = e^{l i m_{x \to x_{0}} u (x) v (x)}$ .
c)
Mai întâi, calculați limita bazei $lim_{x \to + \infty} \frac{x ^{2} - 5 x}{f ( x )}$ pentru a verifica dacă este de forma $1$ . Apoi, rescrieți baza limitei ca $1 + (\frac{x ^{2} - 5 x}{f ( x )} - 1)$ .
c)
Simplificați expresia $\frac{x ^{2} - 5 x}{f ( x )} - 1$ și apoi aplicați formula pentru limita de tip $e^{l i m u (x) v (x)}$ , unde $v (x) = x$ .

Limite și continuitate, din alte variante, de la ușor la greu.