Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2025 · Varianta 3 · mate-info

Primitive și integraleEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = \frac{x + 4}{e ^{x}}

a)
Arătați că $\int_{0}^{2} f (x) e^{x} d x = 10$ .
b)
Arătați că $\int_{0}^{1} f (x) d x = 5 - \frac{6}{e}$ .
c)
Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră numărul $I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{f ( x )} d x$ . Arătați că $I_{n + 1} + 4 I_{n} \leq \frac{e}{n + 1}$ , pentru orice număr natural nenul $n$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Începeți prin a substitui expresia funcției $f (x)$ în integrală pentru a simplifica integrandul.
a)
Observați că termenul $e^{x}$ din numitorul lui $f (x)$ se va simplifica cu $e^{x}$ din integrand, lăsând o funcție polinomială simplă.
a)
Calculați primitiva funcției rămase și apoi aplicați formula Leibniz-Newton pentru a evalua integrala definită între limitele $0$ și $2$ .
b)Această integrală implică un produs de funcții (polinomială și exponențială), sugerând utilizarea metodei de integrare prin părți.
b)
Alegeți $u = x + 4$ și $d v = e^{- x} d x$ . Calculați $d u$ și $v$ corespunzător.
b)
Aplicați formula de integrare prin părți $\int u d v = uv - \int v d u$ și apoi evaluați integrala definită între limitele $0$ și $1$ .
c)
Combinați cele două integrale, $I_{n + 1}$ și $4 I_{n}$ , într-o singură integrală, folosind liniaritatea operatorului integral.
c)
Substituiți expresia lui $f (x)$ în integrala combinată și simplificați integrandul. Veți obține o expresie de forma $\int_{0}^{1} x^{n} g (x) d x$ .
c)
Pentru a demonstra inegalitatea, analizați comportamentul funcției $g (x)$ (partea integrandului care nu conține $x^{n}$ ) pe intervalul $[0, 1]$ pentru a-i găsi o margine superioară. Apoi, folosiți această margine pentru a majora integrala.

Primitive și integrale, din alte variante, de la ușor la greu.