Matematică

Matrice și sisteme — Subiectul II. 1

mediuBacalaureat 2025 · Varianta 5 · mate-info

Matrice și sistemeEcuații și inecuații

Se consideră matricea

A (a) = a 02 1 a 4 - 2 11

și sistemul de ecuații

⎩ ⎨ ⎧ a x + y - 2 z = 4 a y + z = 1 2 x + 4 y + z = 4

, unde

a

este număr real.

a)
Arătați că $det (A (1)) = 3$ .
b)
Arătați că sistemul de ecuații are soluție unică, pentru orice număr real $a$ .
c)
Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care soluția $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ a sistemului de ecuații verifică inegalitatea $y_{0} \geq 1$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a calcula determinantul unei matrice, trebuie să știi cum se aplică regula specifică dimensiunii matricei.
a)
Pentru o matrice de tip $3 \times 3$ , poți folosi regula lui Sarrus sau dezvoltarea după o linie/coloană.
a)
Începe prin a înlocui $a = 1$ în matricea $A (a)$ pentru a obține matricea $A (1)$ , apoi calculează-i determinantul.
b)Un sistem de ecuații liniare are soluție unică dacă determinantul matricei sistemului este nenul.
b)
Calculează $det (A (a))$ și verifică dacă este diferit de zero pentru orice număr real $a$ .
b)
Exprimă $det (A (a))$ în funcție de $a$ și analizează expresia obținută pentru a demonstra că este întotdeauna nenulă.
c)
Pentru a găsi valoarea lui $y_{0}$ , poți folosi regula lui Cramer, care implică raportul a doi determinanți.
c)
Reține că $y_{0} = \frac{Δ _{y}}{d e t ( A ( a ))}$ , unde $Δ_{y}$ este determinantul matricei obținute prin înlocuirea coloanei a doua a matricei $A (a)$ cu coloana termenilor liberi ai sistemului.
c)
Calculează $Δ_{y}$ și apoi rezolvă inegalitatea $\frac{Δ _{y}}{d e t ( A ( a ))} \geq 1$ pentru a determina mulțimea valorilor lui $a$ .

Matrice și sisteme, din alte variante, de la ușor la greu.