Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2025 · Varianta Model · mate-info

Primitive și integraleEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = e^{x} + x^{2} - 1

a)
Arătați că $\int_{1}^{4} (f (x) - e^{x}) d x = 18$ .
b)
Arătați că $\int_{1}^{2} \frac{e ^{x}}{f ( x ) - x ^{2}} d x = ln (e + 1)$ .
c)
Demonstrați că $\int_{0}^{1} \frac{x}{f ( x ) + 1} d x \leq 1 - \frac{2}{e}$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Începeți prin a simplifica expresia din interiorul integralei, $f (x) - e^{x}$ , folosind definiția funcției $f (x)$ .
a)
După simplificare, veți obține o integrală de tip putere. Calculați primitiva funcției rezultate, folosind formula $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ .
a)Aplicați formula Leibniz-Newton pentru a evalua integrala definită, calculând diferența dintre valorile primitivei la limitele superioară și inferioară de integrare.
b)
Simplificați numitorul fracției, $f (x) - x^{2}$ , utilizând expresia dată pentru $f (x)$ .
b)
Observați forma integralei rezultate. Aceasta este de tipul $\int \frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )} d x$ , a cărei primitivă este $ln ∣ u (x) ∣ + C$ . Identificați funcția $u (x)$ și verificați dacă numărătorul este derivata sa.
b)
Calculați integrala definită aplicând formula Leibniz-Newton pentru funcția $ln ∣ u (x) ∣$ în limitele de integrare date.
c)
Simplificați numitorul expresiei din integrală, $f (x) + 1$ , folosind definiția funcției $f (x)$ .
c)
Pentru a demonstra inegalitatea, căutați o majorare a integrandului. Observați că pentru $x \in [0, 1]$ , $x^{2} \geq 0$ , deci $e^{x} + x^{2} \geq e^{x}$ . Folosiți această inegalitate pentru a majora fracția $\frac{x}{e ^{x} + x ^{2}}$ .
c)
Calculați integrala definită a majorării obținute, adică $\int_{0}^{1} x e^{- x} d x$ . Această integrală se rezolvă prin metoda integrării prin părți, folosind formula $\int u d v = uv - \int v d u$ .

Exersează același capitol

Primitive și integrale, din alte variante, de la ușor la greu.

Vezi toate cele 36 de exerciții din Primitive și integrale →