Matematică

Limite și continuitate — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2025 · Varianta Model · științe ale naturii

Limite și continuitateDerivate și funcțiiEcuații și inecuațiiNumere reale și radicali

Se consideră funcția

f : (0, + \infty) \to R

f (x) = (x^{2} - 5) x

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{5 ( x - 1 ) ( x + 1 )}{2 x}$ , $x \in (0, + \infty)$ .
b)
Arătați că $lim_{x \to + \infty} \frac{f ^{'} ( x )}{x x} = \frac{5}{2}$ .
c)
Arătați că $f (x + 2) - f (x) \leq 26$ , pentru orice $x \in (0, 2]$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula derivata funcției $f (x) = (x^{2} - 5) x$ , folosiți regula de derivare a unui produs de funcții.
a)
Reamintiți-vă formula $(u \cdot v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ și derivați separat $u (x) = x^{2} - 5$ și $v (x) = x$ .
a)
Calculați $u^{'} (x) = 2 x$ și $v^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$ , apoi înlocuiți în formula produsului și aduceți la un numitor comun pentru a obține forma cerută.
b)
Pentru a calcula limita la infinit, înlocuiți expresia lui $f^{'} (x)$ obținută la subpunctul a) în raportul dat.
b)
Simplificați numitorul $x x$ și apoi împărțiți atât numărătorul, cât și numitorul fracției cu cea mai mare putere a lui $x$ din numitor.
b)
După înlocuirea lui $f^{'} (x) = \frac{5 ( x - 1 ) ( x + 1 )}{2 x}$ , expresia de sub limită devine $\frac{5 ( x - 1 ) ( x + 1 )}{2 x \cdot x x}$ . Simplificați și calculați limita.
c)
Pentru a demonstra o inegalitate de acest tip, este util să analizăm monotonia funcției $f$ pe intervalul dat sau să găsim valorile extreme ale expresiei $f (x + 2) - f (x)$ .
c)
Determinați intervalele pe care funcția $f$ este monotonă folosind semnul derivatei $f^{'} (x)$ . Observați că $x \in (0, 2]$ implică $x + 2 \in (2, 4]$ .
c)
Folosiți monotonia funcției $f$ pentru a stabili o limită superioară pentru $f (x + 2)$ și o limită inferioară pentru $f (x)$ pe intervalele relevante, apoi calculați diferența acestor limite.

Limite și continuitate, din alte variante, de la ușor la greu.