Matematică

Limite și continuitate — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2026 · Varianta 2 · științe ale naturii

Limite și continuitateDerivate și funcțiiNumere reale și radicali

Se consideră funcția

f : (0, + \infty) \to R

f (x) = (x - 1) x + \frac{2}{x}

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{3 x ^{2} - x - 2}{2 x x}$ , $x \in (0, + \infty)$ .
b)
Arătați că $lim_{x \to 1} \frac{x \cdot f ^{'} ( x )}{5 x - 5} = \frac{1}{2}$ .
c)
Determinați imaginea funcției $f$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula derivata funcției $f (x)$ , va trebui să aplicați regulile de derivare pentru sumă, produs și puteri.
a)
Reamintiți-vă formula de derivare a unui produs $(u \cdot v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ și că $x = x^{1/2}$ , iar $\frac{1}{x} = x^{- 1/2}$ .
a)
Calculați derivata termenului $(x - 1) x$ folosind regula produsului și derivata termenului $\frac{2}{x}$ folosind regula puterii, apoi adunați rezultatele și aduceți la numitor comun.
b)
Începeți prin a substitui expresia lui $f^{'} (x)$ obținută la subpunctul a) în limita dată. Verificați forma nedeterminată obținută prin înlocuirea directă a lui $x = 1$ .
b)
Dacă obțineți o formă nedeterminată de tipul $\frac{0}{0}$ , căutați să simplificați expresia prin factorizarea numărătorului și a numitorului. Observați că $x = 1$ este o rădăcină a numărătorului $3 x^{2} - x - 2$ .
b)
După substituirea lui $f^{'} (x)$ , simplificați termenul $x$ și apoi factorizați expresia $3 x^{2} - x - 2$ și $5 x - 5$ pentru a elimina factorul $(x - 1)$ .
c)
Pentru a determina imaginea funcției $f$ , trebuie să studiați monotonia acesteia pe domeniul de definiție $(0, + \infty)$ și să calculați limitele la capetele intervalului.
c)
Determinați punctele critice ale funcției rezolvând ecuația $f^{'} (x) = 0$ . Analizați semnul derivatei $f^{'} (x)$ pentru a stabili intervalele de creștere și descreștere ale funcției.
c)
Calculați valoarea funcției în punctele critice găsite și determinați limitele $lim_{x \to 0^{+}} f (x)$ și $lim_{x \to + \infty} f (x)$ . Imaginea funcției va fi intervalul determinat de aceste valori.

Exersează același capitol

Limite și continuitate, din alte variante, de la ușor la greu.

Vezi toate cele 27 de exerciții din Limite și continuitate →