Matematică

Structuri algebrice — Subiectul II. 2

mediuBacalaureat 2026 · Varianta 3 · mate-info

Structuri algebrice

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

x * y = \frac{2}{3} (x - 3) (y - 3) + 3

a)
Arătați că $0 * 2 = 5$ .
b)
Determinați numerele reale $x$ pentru care $x * \frac{3 x}{2} = 5 x$ .
c)
Determinați perechile $(m, n)$ de numere naturale pentru care $m * m * n = - 1$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a arăta că $0 * 2 = 5$ , trebuie să aplici direct definiția legii de compoziție dată.
a)
Înlocuiește valorile $x = 0$ și $y = 2$ în formula $x * y = \frac{2}{3} (x - 3) (y - 3) + 3$ .
a)
Calculează produsul $(0 - 3) (2 - 3)$ și apoi înmulțește rezultatul cu $\frac{2}{3}$ înainte de a aduna 3.
b)
Va trebui să rezolvi o ecuație în care membrul stâng este rezultatul legii de compoziție aplicate pentru $x$ și $\frac{3 x}{2}$ .
b)
Înlocuiește $y$ cu $\frac{3 x}{2}$ în definiția legii de compoziție și egalează expresia obținută cu $5 x$ .
b)
Simplifică expresia $x * \frac{3 x}{2}$ pentru a obține o ecuație de gradul doi în $x$ , pe care apoi o vei rezolva.
c)
Deoarece legea este asociativă, poți calcula $m * m$ mai întâi, iar apoi să compui rezultatul cu $n$ .
c)
Calculează $m * m$ folosind formula legii de compoziție, adică înlocuiește $x$ și $y$ cu $m$ .
c)
Odată ce ai o expresie pentru $m * m$ , noteaz-o cu $A$ și rezolvă ecuația $A * n = - 1$ , ținând cont că $m$ și $n$ sunt numere naturale.

Structuri algebrice, din alte variante, de la ușor la greu.