Matematică

Structuri algebrice — Subiectul II. 2

mediuBacalaureat 2026 · Varianta Simulare · mate-info

Structuri algebrice

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

x * y = (x^{2} + 2) (y^{2} + 2) + m

, unde

m \in [- 4, + \infty)

a)
Pentru $m = 3$ , arătați că $0 * 1 = 3$ .
b)
Pentru $m = 7$ , determinați numerele reale $x$ pentru care $x * (2 x) = 5$ .
c)
Determinați $m \in [- 4, + \infty)$ pentru care legea de compoziție „ $*$ ” este asociativă.

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a arăta egalitatea, trebuie să calculezi direct valoarea expresiei $0 * 1$ folosind definiția legii de compoziție.
a)
Înlocuiește $x = 0$ , $y = 1$ și $m = 3$ în formula legii de compoziție $x * y = (x^{2} + 2) (y^{2} + 2) + m$ .
a)
Calculează valoarea expresiei $(0^{2} + 2) (1^{2} + 2) + 3$ sub radical și apoi extrage rădăcina pătrată.
b)
Problema îți cere să rezolvi o ecuație în care necunoscuta $x$ este implicată în operația definită.
b)
Înlocuiește $m = 7$ și $y = 2 x$ în definiția legii de compoziție, apoi egalează rezultatul cu $5$ . Astfel, vei obține ecuația $(x^{2} + 2) ((2 x)^{2} + 2) + 7 = 5$ .
b)Pentru a rezolva ecuația, ridică la pătrat ambii membri pentru a elimina radicalul. Apoi, rezolvă ecuația de gradul al doilea rezultată și nu uita să verifici dacă soluțiile obținute respectă condițiile de existență ale radicalului.
c)
Pentru ca legea de compoziție „ $*$ ” să fie asociativă, trebuie să demonstrezi că $(x * y) * z = x * (y * z)$ pentru orice numere reale $x, y, z$ .
c)
Calculează expresiile pentru $(x * y) * z$ și $x * (y * z)$ folosind definiția legii. Pentru a simplifica, poți ridica la pătrat ambii membri ai egalității $(x * y) * z = x * (y * z)$ pentru a elimina radicalul.
c)
După ce ai eliminat radicalul și ai efectuat calculele, vei observa că unii termeni se simplifică. Rearanjează termenii rămași pentru a obține o ecuație care trebuie să fie valabilă pentru orice $x, y, z \in R$ . Această condiție te va ajuta să determini valoarea lui $m$ .

Exersează același capitol

Structuri algebrice, din alte variante, de la ușor la greu.

Vezi toate cele 90 de exerciții din Structuri algebrice →