Matematică

Structuri algebrice — Subiectul II. 2

mediuBacalaureat 2025 · Varianta 3 · mate-info

Structuri algebrice

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

x * y = 5 (x - 1) (y - 1) + 1

a)
Arătați că $1 * 3 = 1$ .
b)
Arătați că $e = \frac{6}{5}$ este elementul neutru al legii de compoziție „ $*$ ”.
c)
Determinați perechile $(m, n)$ de numere naturale pentru care $\frac{m}{25}$ este simetricul elementului $n$ în raport cu legea de compoziție „ $*$ ”.

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a arăta că $1 * 3 = 1$ , trebuie să aplicați direct definiția legii de compoziție „ $*$ ”.
a)
Înlocuiți $x = 1$ și $y = 3$ în formula dată: $x * y = 5 (x - 1) (y - 1) + 1$ .
a)
Calculați valoarea expresiei $5 (1 - 1) (3 - 1) + 1$ și verificați rezultatul.
b)
Un element $e$ este element neutru dacă pentru orice $x \in R$ , avem $x * e = e * x = x$ .
b)
Pentru a verifica că $e = \frac{6}{5}$ este element neutru, calculați $x * e$ (sau $e * x$ ) înlocuind $e = \frac{6}{5}$ în definiția legii de compoziție.
b)
Arătați că $x * \frac{6}{5} = 5 (x - 1) (\frac{6}{5} - 1) + 1$ se simplifică la $x$ .
c)
Un element $x^{'}$ este simetricul lui $x$ dacă $x * x^{'} = x^{'} * x = e$ , unde $e$ este elementul neutru.
c)
În acest caz, $\frac{m}{25}$ este simetricul lui $n$ , deci trebuie să rezolvați ecuația $n * \frac{m}{25} = e$ , unde $e = \frac{6}{5}$ (din subpunctul b).
c)
Substituiți $x = n$ și $y = \frac{m}{25}$ în formula legii de compoziție și egalați rezultatul cu $\frac{6}{5}$ , apoi analizați ecuația obținută pentru $m, n \in N$ .

Structuri algebrice, din alte variante, de la ușor la greu.