Matematică

Structuri algebrice — Subiectul II. 2

mediuBacalaureat 2025 · Varianta Model · mate-info

Structuri algebriceEcuații și inecuații

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

x * y = x^{2} y + x y^{2} + x + y

a)
Arătați că $1 * 3 = 16$ .
b)
Determinați numerele reale nenule $x$ pentru care $x * \frac{2}{x} = 9 x$ .
c)
Determinați perechile $(m, n)$ de numere întregi, cu $m \leq n$ , pentru care $m * n = 1$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a arăta că $1 * 3 = 16$ , trebuie să înlocuiești valorile date în definiția legii de compoziție.
a)
Reține că legea de compoziție este $x * y = x^{2} y + x y^{2} + x + y$ . Înlocuiește $x = 1$ și $y = 3$ în această formulă.
a)
Calculează fiecare termen al sumei: $1^{2} \cdot 3$ , $1 \cdot 3^{2}$ , $1$ și $3$ , apoi adună rezultatele.
b)
Pentru a determina numerele reale nenule $x$ care verifică ecuația $x * \frac{2}{x} = 9 x$ , începe prin a calcula expresia $x * \frac{2}{x}$ folosind definiția legii de compoziție.
b)
Înlocuiește $y = \frac{2}{x}$ în formula $x * y = x^{2} y + x y^{2} + x + y$ . Simplifică expresia rezultată.
b)
După ce ai simplificat $x * \frac{2}{x}$ , egalează rezultatul cu $9 x$ și rezolvă ecuația obținută, ținând cont de condiția că $x$ este un număr real nenul.
c)
Pentru a determina perechile de numere întregi $(m, n)$ cu $m \leq n$ pentru care $m * n = 1$ , începe prin a factoriza expresia legii de compoziție $x * y$ .
c)
Observă că primii doi termeni $x^{2} y + x y^{2}$ pot fi factorizați ca $x y (x + y)$ . Apoi, poți factoriza întreaga expresie $x * y = x y (x + y) + (x + y)$ .
c)
După factorizare, vei obține o ecuație de forma $(m + n) (mn + 1) = 1$ . Deoarece $m$ și $n$ sunt numere întregi, analizează cazurile posibile pentru factorii $(m + n)$ și $(mn + 1)$ astfel încât produsul lor să fie $1$ .

Structuri algebrice, din alte variante, de la ușor la greu.