Matematică

Matrice și sisteme, Subiectul II. 1

mediuBacalaureat 2024 · Varianta 10 · mate-info

Matrice și sistemeEcuații și inecuații

Se consideră matricea

M (x) = x 00 0 x + 2 2 x 0 x x + 2

, unde

x

este număr real.

a)
Arătați că $det (M (1)) = 7$ .
b)
Determinați numărul real $x$ pentru care $M (x) \cdot M (2) = M (x - 1)$ .
c)
Determinați numerele naturale $n$ pentru care $2 det (M (n)) \leq det (M (2 n))$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a calcula determinantul unei matrici de ordin 3, puteți folosi regula lui Sarrus sau dezvoltarea după o linie/coloană.
a)
Observați că matricea $M (1)$ are o structură specială, cu multe zerouri pe prima linie și prima coloană, ceea ce simplifică mult calculul determinantului.
a)
Înlocuiți $x = 1$ în $M (x)$ pentru a obține $M (1)$ , apoi calculați determinantul folosind dezvoltarea după prima linie: $det (M (1)) = 1 \cdot ((1 + 2) (1 + 2) - 1 \cdot 2 \cdot 1)$ .
b)Exercițiul implică operații cu matrici: înmulțirea matricilor și egalitatea a două matrici.
b)
Calculați mai întâi matricea $M (2)$ prin substituirea lui $x = 2$ în $M (x)$ . Apoi, efectuați produsul $M (x) \cdot M (2)$ folosind regula "linie ori coloană".
b)
După ce ați calculat $M (x) \cdot M (2)$ și $M (x - 1)$ , egalați elementele corespunzătoare ale celor două matrici. De exemplu, egalați elementul din prima linie și prima coloană pentru a obține o ecuație simplă în $x$ .
c)
Primul pas este să determinați o expresie generală pentru $det (M (x))$ .
c)
Folosind expresia generală a determinantului, înlocuiți $x$ cu $n$ pentru a obține $det (M (n))$ și cu $2 n$ pentru a obține $det (M (2 n))$ .
c)
Scrieți inegalitatea $2 det (M (n)) \leq det (M (2 n))$ și simplificați-o. Nu uitați că $n$ este un număr natural.

Matrice și sisteme, din alte variante, de la ușor la greu.