Matematică

Primitive și integrale, Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2024 · Varianta 9 · științe ale naturii

Primitive și integrale

Se consideră funcția

f : (- 3, + \infty) \to R

f (x) = 3 x + \frac{1}{x + 3}

a)
Arătați că $\int_{2}^{4} (f (x) - \frac{1}{x + 3}) d x = 18$ .
b)
Arătați că $\int_{1}^{6} (f (x) - 3 x) d x = 2$ .
c)
Determinați numărul real $a$ pentru care $\int_{- 2}^{1} \frac{1}{x + 3} (f (x) - \frac{1}{x + 3}) d x = 9 (a - 2 ln 2)$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Primul pas este să simplificați expresia din interiorul integralei, înlocuind $f (x)$ cu forma sa explicită.
a)
După simplificare, veți obține o integrală de tip putere. Folosiți formula de integrare $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ .
a)
Calculați integrala definită a funcției $3 x$ pe intervalul $[2, 4]$ folosind Teorema Fundamentală a Calculului Integral.
b)
Începeți prin a simplifica expresia din interiorul integralei, înlocuind $f (x)$ cu definiția sa.
b)
Integrala rezultată este de forma $\int \frac{1}{u} d u$ . Amintiți-vă că o primitivă pentru $\frac{1}{x}$ este $2 x$ .
b)
Calculați integrala definită a funcției $\frac{1}{x + 3}$ pe intervalul $[1, 6]$ .
c)
Simplificați expresia din interiorul integralei, înlocuind $f (x)$ și apoi înmulțind cu $\frac{1}{x + 3}$ .
c)
Folosiți împărțirea polinoamelor sau o manipulare algebrică pentru a rescrie fracția $\frac{3 x}{x + 3}$ într-o formă mai ușor de integrat, de tipul $A + \frac{B}{x + 3}$ . Rețineți că $\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣ + C$ .
c)
Calculați integrala definită pe intervalul $[- 2, 1]$ și egalați rezultatul cu $9 (a - 2 ln 2)$ pentru a determina valoarea lui $a$ . Nu uitați proprietățile logaritmilor, cum ar fi $ln (x^{k}) = k ln x$ .

Primitive și integrale, din alte variante, de la ușor la greu.