Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2024 · Varianta 9 · științe ale naturii

Primitive și integrale

Se consideră funcția

f : (- 3, + \infty) \to R

f (x) = 3 x + \frac{1}{x + 3}

a)
Arătați că $\int_{2}^{4} (f (x) - \frac{1}{x + 3}) d x = 18$ .
b)
Arătați că $\int_{1}^{6} (f (x) - 3 x) d x = 2$ .
c)
Determinați numărul real $a$ pentru care $\int_{- 2}^{1} \frac{1}{x + 3} (f (x) - \frac{1}{x + 3}) d x = 9 (a - 2 ln 2)$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Începeți prin a simplifica expresia de sub integrală, utilizând definiția funcției f(x).
a)După simplificare, veți obține o integrală de forma ∫ cx dx. Amintiți-vă formula de integrare pentru funcții putere: ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C.
a)Calculați primitiva funcției 3x și apoi aplicați formula Leibniz-Newton pentru a evalua integrala definită între limitele 2 și 4.
b)Simplificați expresia de sub integrală, f(x) - 3x, înainte de a începe calculul integralei.
b)După simplificare, veți avea de integrat o funcție de forma 1/√(ax+b). Amintiți-vă că primitiva lui 1/√(u) este 2√u.
b)Calculați primitiva funcției 1/√(x+3) și apoi aplicați formula Leibniz-Newton pentru a evalua integrala definită între limitele 1 și 6.
c)Mai întâi, simplificați expresia din paranteză, f(x) - 1/√(x+3), și apoi înmulțiți rezultatul cu 1/(x+3).
c)Veți obține o integrală de forma ∫ (Ax)/(x+B) dx. Pentru a rezolva această integrală, rescrieți fracția ca o sumă de un număr întreg și o fracție simplă, de exemplu prin împărțirea polinoamelor sau prin adăugarea și scăderea unui termen la numărător.
c)Calculați primitiva funcției obținute, care va implica termeni de forma x și ln|x+k|. Aplicați formula Leibniz-Newton și egalați rezultatul cu expresia dată pentru a determina valoarea lui a.