Matematică

Polinoame, Subiectul II. 2

mediuBacalaureat 2024 · Varianta 9 · științe ale naturii

Polinoame

Se consideră polinomul

f = X^{3} + m X^{2} - 2 X - 4

, unde

m

este număr real.

a)
Pentru $m = 6$ , arătați că $f (1) = 1$ .
b)
Determinați numărul real $m$ pentru care $(x_{1} x_{2} x_{3})^{2} = x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{1} x_{2} x_{3}$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ și $x_{3}$ sunt rădăcinile polinomului $f$ .
c)
Determinați rădăcinile polinomului $f$ , știind că restul împărțirii lui $f$ la polinomul $X - 2$ este egal cu $8$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a arăta că $f (1) = 1$ atunci când $m = 6$ , primul pas este să înlocuiești valoarea lui $m$ în expresia polinomului $f (X)$ .
a)
După ce ai înlocuit $m = 6$ , polinomul devine $f (X) = X^{3} + 6 X^{2} - 2 X - 4$ .
a)
Acum, calculează valoarea lui $f (1)$ prin substituirea lui $X = 1$ în expresia obținută a polinomului.
b)Pentru a rezolva această problemă, trebuie să folosești relațiile lui Viète, care leagă rădăcinile unui polinom de coeficienții săi.
b)
Pentru un polinom de gradul trei $X^{3} + a X^{2} + b X + c$ , sumele rădăcinilor sunt $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - a$ și produsul rădăcinilor este $x_{1} x_{2} x_{3} = - c$ . În cazul tău, $a = m$ și $c = - 4$ .
b)
Înlocuiește expresiile pentru $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ și $x_{1} x_{2} x_{3}$ în ecuația dată $(x_{1} x_{2} x_{3})^{2} = x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{1} x_{2} x_{3}$ și rezolvă ecuația rezultată pentru $m$ .
c)
Pentru a determina rădăcinile polinomului, începe prin a folosi teorema restului pentru a găsi valoarea parametrului $m$ .
c)
Conform teoremei restului, restul împărțirii polinomului $f (X)$ la $X - 2$ este egal cu $f (2)$ .
c)
Calculează $f (2)$ folosind expresia polinomului $f (X) = X^{3} + m X^{2} - 2 X - 4$ și egalează rezultatul cu $8$ pentru a afla valoarea lui $m$ . Odată ce ai $m$ , poți căuta rădăcinile polinomului.