Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2026 · Varianta Simulare · științe ale naturii

Primitive și integrale

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = (x^{2} + 4 x) e^{- x}

a)
Arătați că $\int_{0}^{3} f (x) e^{x} d x = 27$ .
b)
Arătați că $\int_{- 1}^{0} \frac{f ( x )}{x + 4} d x = - 1$ .
c)
Se consideră funcția $g : (0, + \infty) \to R$ , $g (x) = \frac{f ( x ^{2} )}{x ^{2}}$ . Demonstrați că orice primitivă $G : (0, + \infty) \to R$ a funcției $g$ este concavă.

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a simplifica calculul integralei, începe prin a substitui expresia funcției $f (x)$ în integrală.
a)
Observă cum se simplifică termenii exponențiali $e^{- x}$ și $e^{x}$ atunci când sunt înmulțiți, reducând integrandul la un polinom.
a)
Calculează integrala definită a polinomului rezultat, evaluând primitiva la limitele de integrare $0$ și $3$ .
b)
Înainte de a integra, încearcă să simplifici expresia $\frac{f ( x )}{x + 4}$ prin înlocuirea lui $f (x)$ și factorizarea numărătorului.
b)
După simplificare, vei obține o integrală de forma $\int x e^{- x} d x$ . Pentru a o rezolva, aplică metoda integrării prin părți.
b)
Aplică formula integrării prin părți $\int u d v = uv - \int v d u$ , alegând $u = x$ și $d v = e^{- x} d x$ pe intervalul $[- 1, 0]$ .
c)
O funcție $G$ este concavă pe un interval dacă derivata sa de ordinul al doilea, $G^{''} (x)$ , este mai mică sau egală cu zero pe acel interval.
c)
Știm că $G^{'} (x) = g (x)$ . Prin urmare, trebuie să calculăm derivata funcției $g (x)$ , adică $g^{'} (x)$ , și să demonstrăm că aceasta este negativă sau nulă.
c)
Simplifică mai întâi expresia funcției $g (x) = \frac{f ( x ^{2} )}{x ^{2}}$ și apoi calculează $g^{'} (x)$ pentru a verifica semnul acesteia pe intervalul $(0, + \infty)$ .

Primitive și integrale, din alte variante, de la ușor la greu.