Matematică

Limite și continuitate — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2024 · Varianta 9 · științe ale naturii

Limite și continuitateDerivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : (0, + \infty) \to R

f (x) = \frac{3 - x}{x ^{2}} + ln x

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} + x - 6}{x ^{3}}$ , $x \in (0, + \infty)$ .
b)
Arătați că $lim_{x \to + \infty} (f (x) - ln x) = 0$ .
c)
Arătați că $4 f (x) - 1 \geq ln 16$ , pentru orice $x \in (0, + \infty)$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a calcula derivata unei funcții care este o sumă de termeni, se derivează fiecare termen în parte.
a)Folosește regula de derivare a unui cât, (u/v)' = (u'v - uv')/v^2, pentru primul termen și formula (ln x)' = 1/x pentru al doilea.
a)După derivare, adu termenii la un numitor comun x^3 și simplifică expresia pentru a obține forma cerută.
b)Începe prin a simplifica expresia f(x) - ln x înainte de a calcula limita.
b)Observă că termenul ln x se va anula, lăsând doar primul termen al funcției f(x).
b)Calculează limita funcției raționale rămase, (3-x)/x^2, când x tinde la +∞, împărțind numărătorul și numitorul la cea mai mare putere a lui x din numitor.
c)Pentru a demonstra o inegalitate de forma f(x) ≥ M, poți studia variația funcției pentru a-i găsi valoarea minimă.
c)Folosește derivata f'(x) de la subpunctul a) pentru a determina punctele critice și intervalele de monotonie ale funcției f.
c)Identifică punctul de minim al funcției f pe intervalul (0, +∞), calculează f în acest punct și apoi verifică inegalitatea dată.