Matematică

Limite și continuitate, Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2024 · Varianta 9 · științe ale naturii

Limite și continuitateDerivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : (0, + \infty) \to R

f (x) = \frac{3 - x}{x ^{2}} + ln x

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} + x - 6}{x ^{3}}$ , $x \in (0, + \infty)$ .
b)
Arătați că $lim_{x \to + \infty} (f (x) - ln x) = 0$ .
c)
Arătați că $4 f (x) - 1 \geq ln 16$ , pentru orice $x \in (0, + \infty)$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula derivata funcției $f (x)$ , va trebui să aplicați regulile de derivare pentru sumă, cât și pentru funcții specifice (funcție rațională și logaritm natural).
a)
Derivata primului termen, $(\frac{3 - x}{x ^{2}})^{'}$ , se calculează folosind regula câtului: $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ . Derivata celui de-al doilea termen, $(ln x)^{'}$ , este $\frac{1}{x}$ .
a)Calculați derivata fiecărui termen separat, apoi adunați rezultatele și aduceți la un numitor comun pentru a obține forma cerută.
b)
Începeți prin a simplifica expresia din interiorul limitei, $f (x) - ln x$ , înainte de a calcula limita.
b)
După simplificare, veți obține limita unei funcții raționale. Pentru limite la $+ \infty$ ale funcțiilor raționale, comparați gradele polinomului de la numărător și de la numitor.
b)
Înlocuiți $f (x)$ cu definiția sa și observați ce termeni se anulează. Apoi, calculați limita expresiei rămase, $lim_{x \to + \infty} \frac{3 - x}{x ^{2}}$ .
c)
Pentru a demonstra o inegalitate de forma $A \geq B$ , unde $A$ depinde de o funcție, este adesea util să găsiți valoarea minimă a funcției pe intervalul dat folosind derivata.
c)
Analizați semnul derivatei $f^{'} (x)$ (calculată la subpunctul a)) pentru a determina intervalele de monotonie ale funcției $f (x)$ și pentru a identifica punctele de extrem local. Veți găsi că $x = 2$ este un punct de minim.
c)
Calculați valoarea minimă a funcției, $f (2)$ , și înlocuiți-o în inegalitatea dată. Folosiți proprietățile logaritmilor pentru a simplifica $ln 16$ .

Exersează același capitol

Limite și continuitate, din alte variante, de la ușor la greu.

Vezi toate cele 27 de exerciții din Limite și continuitate →