Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2026 · Varianta 2 · științe ale naturii

Primitive și integrale

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = (x^{2} + x) e^{x}

a)
Arătați că $\int_{0}^{1} \frac{f ( x )}{e ^{x}} d x = \frac{5}{6}$ .
b)
Arătați că $\int_{1}^{2} \frac{f ( x )}{x} d x = e (2 e - 1)$ .
c)
Determinați numărul real $a$ pentru care $\int_{2}^{4} \frac{x f ( x )}{f ( x - 1 )} d x = a e (5 + ln 3)$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Simplifică expresia de sub integrală folosind definiția funcției $f (x)$ .
a)
Calculează integrala funcției polinomiale rezultate folosind proprietățile de liniaritate și formula $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ .
a)Evaluează integrala definită aplicând formula lui Leibniz-Newton, calculând diferența dintre valorile primitivei la limitele superioară și inferioară.
b)
Simplifică expresia de sub integrală folosind definiția funcției $f (x)$ .
b)
Recunoaște că funcția de sub integrală, după simplificare, este derivata unui produs de funcții. Gândește-te la formula $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ .
b)
Identifică funcția a cărei derivată este $(x + 1) e^{x}$ și apoi aplică formula lui Leibniz-Newton pentru a calcula integrala definită.
c)
Simplifică expresia de sub integrală, $\frac{x f ( x )}{f ( x - 1 )}$ , înlocuind $f (x)$ și $f (x - 1)$ și reducând termenii comuni.
c)
După simplificare, vei obține o fracție rațională înmulțită cu $e$ . Efectuează împărțirea polinoamelor sau descompunerea în fracții simple pentru termenul rațional $\frac{x ( x + 1 )}{x - 1}$ .
c)
Calculează integrala definită a funcției rezultate, folosind formula de integrare pentru $\frac{1}{a x + b}$ și apoi compară rezultatul cu forma dată $a e (5 + ln 3)$ pentru a determina $a$ .

Primitive și integrale, din alte variante, de la ușor la greu.