Matematică

Matrice și sisteme, Subiectul II. 1

mediuBacalaureat 2024 · Varianta 9 · științe ale naturii

Matrice și sisteme

Se consideră matricele

A = (1112)

și

B (x) = (x + 1 2 x x + 4 4 x - 3)

, unde

x

este număr real.

a)
Arătați că $det A = 1$ .
b)
Determinați numărul real $x$ pentru care $det (B (x) - x A) = x$ .
c)
Determinați numărul real $x$ pentru care $B (x) + B (x + 2) = 2 A \cdot A \cdot A$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a arăta că $det A = 1$ , trebuie să știi cum se calculează determinantul unei matrici de ordinul 2.
a)
Reține că determinantul unei matrici $M = (a c b d)$ este dat de formula $det M = a d - b c$ .
a)
Aplică această formulă pentru matricea $A = (1112)$ și verifică rezultatul.
b)
Pentru a rezolva ecuația, primul pas este să calculezi matricea $B (x) - x A$ .
b)
Începe prin a calcula produsul scalar $x A$ și apoi efectuează scăderea matricelor $B (x) - x A$ , element cu element.
b)
Odată ce ai obținut matricea $B (x) - x A$ , calculează-i determinantul și egalează-l cu $x$ pentru a forma o ecuație în $x$ .
c)
Pentru a determina $x$ , va trebui să calculezi ambele părți ale egalității: $B (x) + B (x + 2)$ și $2 A \cdot A \cdot A$ .
c)
Calculează mai întâi $A^{2} = A \cdot A$ , apoi $A^{3} = A^{2} \cdot A$ . Nu uita să înmulțești rezultatul cu scalarul 2. Pentru partea stângă, înlocuiește $x$ cu $x + 2$ în $B (x)$ și apoi adună cele două matrici.
c)
După ce ai calculat ambele părți ale egalității ca matrici, egalează elementele corespondente ale celor două matrici pentru a obține o ecuație în $x$ .

Matrice și sisteme, din alte variante, de la ușor la greu.