Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2025 · Varianta 1 · științe ale naturii

Primitive și integrale

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = x^{3} + 3 x + 3

a)
Arătați că $\int_{0}^{2} (f (x) - 3 x - 3) d x = 4$ .
b)
Arătați că $\int_{0}^{1} \frac{1}{( f ( x ) - x ^{3} ) ^{2}} d x = \frac{1}{18}$ .
c)
Determinați numărul real $m$ pentru care $\int_{1}^{e} \frac{f ( x ) - 3}{x ^{2}} \cdot ln x d x = \frac{e ^{2} + m}{4}$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Începeți prin a simplifica expresia de sub integrală, înlocuind $f (x)$ cu forma sa dată.
a)După înlocuire, veți obține o funcție polinomială simplă. Calculați integrala definită a acestei funcții.
a)
Calculați $\int_{0}^{2} x^{3} d x$ folosind formula Newton-Leibniz.
b)
Simplificați expresia din numitorul fracției, înlocuind $f (x)$ cu forma sa.
b)
După simplificare, numitorul va fi de forma $(a x + b)^{2}$ . Recunoașteți tipul de integrală $\int \frac{1}{u ^{2}} d u$ .
b)
Calculați integrala $\int_{0}^{1} \frac{1}{( 3 x + 3 ) ^{2}} d x$ folosind o substituție sau formula pentru primitive de tip $u^{- 2}$ .
c)
Mai întâi, simplificați expresia $\frac{f ( x ) - 3}{x ^{2}}$ și apoi rescrieți integrala.
c)
Folosiți metoda integrării prin părți, alegând $u = ln x$ și $d v$ ca fiind restul expresiei simplificate.
c)
Aplicați formula de integrare prin părți $\int u d v = uv - \int v d u$ pentru $\int_{1}^{e} (x + \frac{3}{x}) ln x d x$ și evaluați la limite.

Primitive și integrale, din alte variante, de la ușor la greu.