Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2026 · Varianta Model · științe ale naturii

Primitive și integraleNumere reale și radicaliFuncții și grafice

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = x + 2 x^{2} + 1

a)
Arătați că $\int_{3}^{5} (f (x) - 2 x^{2} + 1) d x = 8$ .
b)
Arătați că $\int_{1}^{2} \frac{x}{( f ( x ) - x ) ^{2}} d x = \frac{l n 3}{4}$ .
c)
Determinați numărul real $a$ pentru care volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $g : [0, 2] \to R$ , $g (x) = f (x)$ în jurul axei $O x$ este egal cu $\frac{aπ}{3}$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Simplificați expresia de sub integrală folosind definiția funcției $f (x)$ .
a)
Înlocuiți $f (x)$ în integrală și observați termenii care se reduc. Veți obține o integrală simplă de tip putere.
a)
După simplificare, integrala devine $\int_{3}^{5} x d x$ . Calculați această integrală definită.
b)
Simplificați expresia din numitorul integralei, folosind definiția funcției $f (x)$ .
b)
După înlocuirea lui $f (x) - x$ , numitorul va fi $(2 x^{2} + 1)^{2} = 2 x^{2} + 1$ . Integrala va deveni $\int_{1}^{2} \frac{x}{2 x ^{2} + 1} d x$ . Gândiți-vă la o substituție sau la forma $\int \frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )} d x = ln ∣ u (x) ∣ + C$ .
b)
Pentru a obține forma $\frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )}$ , observați că derivata lui $2 x^{2} + 1$ este $4 x$ . Puteți rescrie integrala ca $\frac{1}{4} \int_{1}^{2} \frac{4 x}{2 x ^{2} + 1} d x$ .
c)
Folosiți formula pentru volumul corpului de rotație generat de graficul unei funcții în jurul axei $O x$ .
c)
Formula este $V = π \int_{0}^{2} (g (x))^{2} d x$ . Înlocuiți $g (x) = f (x) = x + 2 x^{2} + 1$ și calculați $(f (x))^{2}$ .
c)
Dezvoltați $(f (x))^{2} = (x + 2 x^{2} + 1)^{2} = 3 x^{2} + 1 + 2 x 2 x^{2} + 1$ . Pentru a integra $2 x 2 x^{2} + 1$ , observați că este de forma $k \cdot u^{'} (x) u (x)$ , unde $u (x) = 2 x^{2} + 1$ . Primitiva este de forma $C \cdot (2 x^{2} + 1) 2 x^{2} + 1$ .

Primitive și integrale, din alte variante, de la ușor la greu.