Matematică

Limite și continuitate — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2026 · Varianta Model · științe ale naturii

Limite și continuitateDerivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = e^{x} (x^{2} + x - 1)

a)
Arătați că $f^{'} (x) = e^{x} (x^{2} + 3 x)$ , $x \in R$ .
b)
Arătați că $lim_{x \to 0} \frac{e ^{x} + f ( x )}{f ^{'} ( x )} = \frac{1}{3}$ .
c)
Demonstrați că $e^{x + 3} (x^{2} + x - 1) \leq 5$ , pentru orice $x \in (- \infty, 0]$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula derivata unei funcții de forma $f (x) = u (x) v (x)$ , unde $u (x) = e^{x}$ și $v (x) = x^{2} + x - 1$ , trebuie să folosiți regula de derivare a unui produs.
a)
Formula generală pentru derivata unui produs de funcții este $(u (x) v (x))^{'} = u^{'} (x) v (x) + u (x) v^{'} (x)$ .
a)
Calculați separat derivatele $u^{'} (x)$ și $v^{'} (x)$ , apoi înlocuiți-le în formula produsului și factorizați $e^{x}$ pentru a ajunge la forma cerută.
b)
Primul pas în calculul unei limite este să înlocuiți valoarea la care tinde $x$ în expresie pentru a vedea dacă obțineți o formă nedeterminată.
b)
Înlocuiți expresiile pentru $f (x)$ și $f^{'} (x)$ (pe care le-ați demonstrat la subpunctul a) în fracția dată, apoi simplificați expresia algebrică obținută.
b)
După înlocuire și simplificare, veți observa că puteți factoriza $e^{x}$ la numărător și numitor, iar apoi puteți simplifica factorul comun $x$ pentru a evalua limita.
c)
Pentru a demonstra o inegalitate de forma $A \leq B$ pentru o funcție pe un interval, puteți analiza variația funcției pe acel interval, căutând valoarea maximă.
c)
Observați că expresia $e^{x + 3} (x^{2} + x - 1)$ este legată de $f (x)$ . Rescrieți inegalitatea în termeni de $f (x)$ și analizați monotonia funcției $f (x)$ pe intervalul $(- \infty, 0]$ folosind derivata $f^{'} (x)$ .
c)
Determinați punctele critice ale funcției $f (x)$ pe intervalul $(- \infty, 0]$ prin rezolvarea ecuației $f^{'} (x) = 0$ și evaluați $f (x)$ în aceste puncte și la capetele intervalului pentru a găsi valoarea maximă a lui $f (x)$ pe $(- \infty, 0]$ .

Exersează același capitol

Limite și continuitate, din alte variante, de la ușor la greu.

Vezi toate cele 27 de exerciții din Limite și continuitate →