Matematică

Limite și continuitate — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2026 · Varianta Simulare · științe ale naturii

Limite și continuitateDerivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : (0, + \infty) \to R

f (x) = \frac{1}{x} - 1 + 4 ln (x + 3)

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{( x - 1 ) ( 4 x + 3 )}{x ^{2} ( x + 3 )}$ , $x \in (0, + \infty)$ .
b)
Arătați că $lim_{x \to 1} \frac{4 l n ( x + 3 ) - f ( x )}{l n x} = 1$ .
c)
Demonstrați că $\frac{1}{x ^{2}} - \frac{1}{x} \geq 4 ln \frac{x + 3}{x ^{2} + 3}$ , pentru orice $x \in (0, 1]$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula derivata funcției $f (x)$ , folosește regulile de derivare pentru sumă și pentru funcții de tip putere și logaritmice.
a)
Reamintește-ți că $(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$ și $(4 ln (x + 3))^{'} = 4 \cdot \frac{1}{x + 3}$ .
a)
Calculează $f^{'} (x)$ , apoi adu la numitor comun $x^{2} (x + 3)$ și simplifică expresia obținută pentru a ajunge la forma cerută.
b)Simplifică numărătorul expresiei limitei. Apoi, identifică forma de nedeterminare și aplică regula L'Hopital.
b)
După simplificare, vei obține o formă de nedeterminare de tip $\frac{0}{0}$ . Regula L'Hopital afirmă că $lim_{x \to c} \frac{g ( x )}{h ( x )} = lim_{x \to c} \frac{g ^{'} ( x )}{h ^{'} ( x )}$ .
b)
Calculează derivata numărătorului $(1 - \frac{1}{x})^{'}$ și a numitorului $(ln x)^{'}$ , apoi evaluează limita raportului derivatelor la $x = 1$ .
c)
Transformă inegalitatea într-o formă care implică funcția $f (x)$ sau o funcție auxiliară, apoi analizează monotonia acesteia pe intervalul dat.
c)
Observă că inegalitatea poate fi rescrisă ca $f (x^{2}) \geq f (x)$ dacă $f (x)$ este considerată ca fiind $f (t) = \frac{1}{t} + 4 ln (t + 3)$ . Apoi, folosește derivata $f^{'} (x)$ calculată la subpunctul a) pentru a determina monotonia funcției $f$ pe intervalul $(0, 1]$ .
c)
Arată că $f^{'} (x) \leq 0$ pentru $x \in (0, 1]$ , ceea ce implică faptul că $f$ este descrescătoare pe acest interval. Deoarece $x \in (0, 1]$ implică $x^{2} \leq x$ , rezultă că $f (x^{2}) \geq f (x)$ .

Exersează același capitol

Limite și continuitate, din alte variante, de la ușor la greu.

Vezi toate cele 27 de exerciții din Limite și continuitate →