Matematică

Limite și continuitate — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2025 · Varianta 9 · științe ale naturii

Limite și continuitateDerivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : (0, + \infty) \to R

f (x) = x^{2} - 3 x - 1 + ln x

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{( 2 x - 1 ) ( x - 1 )}{x}$ , $x \in (0, + \infty)$ .
b)
Arătați că $lim_{x \to 1} \frac{f ( x ) + 3 x}{l n x} = 3$ .
c)
Demonstrați că $f (x) + f (y) \leq - \frac{21}{4}$ , pentru orice $x \in (0, 1]$ și orice $y \in [1, 2]$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a calcula derivata unei sume/diferențe de funcții, derivați fiecare termen în parte.
a)
Reamintiți-vă formulele de derivare pentru funcțiile putere, constantă și logaritm natural: $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ , $(c)^{'} = 0$ , $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ .
a)
Aplicați aceste formule pentru fiecare termen al lui $f (x)$ și apoi aduceți la un numitor comun pentru a obține forma cerută.
b)
Începeți prin a înlocui $f (x)$ în expresia limitei și verificați forma nedeterminată obținută la $x = 1$ .
b)
Deoarece obțineți o formă nedeterminată de tip $\frac{0}{0}$ , puteți aplica regula lui L'Hôpital, derivând separat numărătorul și numitorul.
b)
Calculați derivata numărătorului $f (x) + 3 x$ și a numitorului $ln x$ , apoi evaluați limita raportului derivatelor la $x = 1$ .
c)
Pentru a demonstra o inegalitate de acest tip, este util să găsiți valorile maxime ale funcției $f (x)$ pe intervalele specificate.
c)
Folosiți derivata $f^{'} (x)$ (calculată la subpunctul a)) pentru a studia monotonia funcției $f$ pe intervalele $(0, 1]$ și $[1, 2]$ . Determinați punctele critice unde $f^{'} (x) = 0$ .
c)
Evaluați funcția $f$ în punctele critice și la capetele intervalelor $(0, 1]$ și $[1, 2]$ pentru a găsi valorile maxime $f_{ma x} (x)$ și $f_{ma x} (y)$ . Apoi, verificați dacă $f_{ma x} (x) + f_{ma x} (y) \leq - \frac{21}{4}$ .

Limite și continuitate, din alte variante, de la ușor la greu.