Matematică

Polinoame — Subiectul II. 2

mediuBacalaureat 2026 · Varianta Model · științe ale naturii

Polinoame

Se consideră polinomul

f = X^{3} + a X^{2} - 2 X + 2

, unde

a

este număr real.

a)
Arătați că $f (0) = 2$ , pentru orice număr real $a$ .
b)
Determinați numărul real $a$ pentru care $x_{1} x_{2} x_{3} (1 + x_{1} + x_{2} + x_{3}) = 4$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ și $x_{3}$ sunt rădăcinile polinomului $f$ .
c)
Știind că polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $X + 1$ , determinați restul împărțirii lui $f$ la polinomul $X^{2} - 2$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula $f (0)$ , trebuie să înlocuiești variabila $X$ din expresia polinomului cu valoarea $0$ .
a)
Polinomul este $f (X) = X^{3} + a X^{2} - 2 X + 2$ . Înlocuiește $X = 0$ în această expresie.
a)
Efectuează calculele: $0^{3} + a \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0 + 2$ . Vezi ce valoare numerică obții.
b)Reamintește-ți formulele lui Viète pentru un polinom de gradul al treilea, care leagă rădăcinile de coeficienții polinomului.
b)
Pentru polinomul $f (X) = X^{3} + a X^{2} - 2 X + 2$ , identifică suma rădăcinilor $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ și produsul rădăcinilor $x_{1} x_{2} x_{3}$ în funcție de coeficienții polinomului.
b)
Înlocuiește expresiile găsite pentru sumă și produs în ecuația dată, $x_{1} x_{2} x_{3} (1 + x_{1} + x_{2} + x_{3}) = 4$ , și rezolvă ecuația rezultată pentru $a$ .
c)
Dacă polinomul $f$ este divizibil cu $X + 1$ , conform Teoremei Restului, ce valoare trebuie să aibă $f (- 1)$ ? Folosește această condiție pentru a determina valoarea numărului real $a$ .
c)
Odată ce ai determinat valoarea lui $a$ , ai polinomul $f (X)$ complet. Pentru a găsi restul împărțirii lui $f (X)$ la $X^{2} - 2$ , poți folosi teorema împărțirii cu rest, scriind $f (X) = Q (X) (X^{2} - 2) + R (X)$ , unde $R (X)$ este un polinom de grad cel mult $1$ , adică de forma $m X + n$ .
c)
Știind că $X^{2} - 2 = 0$ implică $X^{2} = 2$ , poți înlocui $X^{2}$ cu $2$ în expresia polinomului $f (X)$ ori de câte ori apare, reducând gradul termenilor până obții un polinom de gradul întâi sau zero, care va fi restul căutat.

Exersează același capitol

Polinoame, din alte variante, de la ușor la greu.

Vezi toate cele 13 exerciții din Polinoame →