Matematică

Polinoame — Subiectul II. 2

mediuBacalaureat 2025 · Varianta 3 · științe ale naturii

Polinoame

Se consideră polinomul

f = X^{3} - 3 X^{2} - 3 X + a

, unde

a

este număr real.

a)
Pentru $a = 1$ , arătați că $f (- 1) = 0$ .
b)
Determinați numărul real $a$ pentru care $3 x_{1} + 3 x_{2} + 3 x_{3} - x_{1} x_{2} x_{3} = 3$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ și $x_{3}$ sunt rădăcinile polinomului $f$ .
c)
Pentru $a = 9$ , determinați rădăcinile polinomului $f$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a calcula valoarea unui polinom într-un punct dat, trebuie să înlocuiești variabila polinomului cu valoarea respectivă.
a)
Înlocuiește $X$ cu $- 1$ în expresia polinomului $f (X) = X^{3} - 3 X^{2} - 3 X + a$ .
a)
Calculează $f (- 1)$ pentru $a = 1$ , adică $f (- 1) = (- 1)^{3} - 3 (- 1)^{2} - 3 (- 1) + 1$ și verifică rezultatul.
b)Acest subpunct implică relațiile dintre rădăcinile și coeficienții unui polinom, cunoscute sub numele de formulele lui Viète.
b)
Pentru un polinom de gradul trei $A X^{3} + B X^{2} + C X + D = 0$ , sumele rădăcinilor sunt $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - B / A$ și produsul rădăcinilor este $x_{1} x_{2} x_{3} = - D / A$ .
b)
Identifică coeficienții $A, B, C, D$ pentru polinomul $f (X) = X^{3} - 3 X^{2} - 3 X + a$ , apoi exprimă $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ și $x_{1} x_{2} x_{3}$ în funcție de aceștia și înlocuiește-le în ecuația dată $3 x_{1} + 3 x_{2} + 3 x_{3} - x_{1} x_{2} x_{3} = 3$ .
c)Pentru a determina rădăcinile unui polinom de gradul trei, poți încerca să găsești o rădăcină rațională folosind teorema rădăcinilor raționale sau să încerci factorizarea prin grupare.
c)
Pentru $a = 9$ , polinomul devine $f (X) = X^{3} - 3 X^{2} - 3 X + 9$ . Încearcă să găsești rădăcini întregi printre divizorii termenului liber $9$ .
c)
Testează valori simple precum $X = 1, X = - 1, X = 3, X = - 3$ . Dacă găsești o rădăcină $x_{0}$ , poți folosi schema lui Horner sau împărțirea polinoamelor pentru a reduce gradul polinomului și a găsi celelalte rădăcini.

Exersează același capitol

Polinoame, din alte variante, de la ușor la greu.

Vezi toate cele 13 exerciții din Polinoame →