Matematică

Matrice și sisteme — Subiectul II. 1

mediuBacalaureat 2025 · Varianta 1 · științe ale naturii

Matrice și sisteme

Se consideră matricele

I_{2} = (1001)

și

A = (- 2 - 1 83)

a)
Arătați că $det A = 2$ .
b)
Arătați că matricea $B = \frac{1}{2} (I_{2} - A)$ este inversa matricei $A$ .
c)
Determinați matricea $X \in M_{2} (R)$ pentru care $(A - I_{2}) \cdot X = 2 A$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a calcula determinantul unei matrice de ordinul doi, reține formula generală.
a)
Dacă ai o matrice $M = (a c b d)$ , atunci determinantul său este $d e tM = a d - b c$ .
a)
Aplică formula pentru matricea $A = (- 2 - 1 83)$ , calculând produsele elementelor de pe diagonale.
b)
O matrice $B$ este inversa matricei $A$ dacă produsul lor este matricea identitate, adică $A \cdot B = B \cdot A = I_{2}$ .
b)
Începe prin a calcula matricea $I_{2} - A$ , apoi înmulțește rezultatul cu scalarul $\frac{1}{2}$ pentru a obține matricea $B$ .
b)
După ce ai calculat matricea $B$ , efectuează produsul $A \cdot B$ și verifică dacă obții matricea identitate $I_{2}$ .
c)
Pentru a rezolva o ecuație matriceală de tipul $M \cdot X = N$ , trebuie să înmulțești la stânga cu inversa matricei $M$ , adică $M^{- 1}$ .
c)
Mai întâi, calculează matricea $A - I_{2}$ . Apoi, observă că această matrice este legată de inversa lui $A$ calculată la subpunctul b).
c)
Folosește relația $A - I_{2} = - 2 A^{- 1}$ (pe care o poți deduce din subpunctul b) sau o poți verifica direct) și înlocuiește în ecuație, apoi înmulțește la stânga cu $A$ pentru a-l izola pe $X$ .

Matrice și sisteme, din alte variante, de la ușor la greu.