Matematică

Matrice și sisteme — Subiectul II. 1

mediuBacalaureat 2026 · Varianta Simulare · științe ale naturii

Matrice și sisteme

Se consideră matricea

A (a) = (1 - a a 1 - a)

, unde

a

este număr real.

a)
Arătați că $det (A (1)) = 1$ .
b)
Arătați că $A (a + b) - A (a) \cdot A (b) = ab A (1)$ , pentru orice numere reale $a$ și $b$ .
c)
Determinați numerele reale $a$ pentru care $2 A (2 a) - A (a) \cdot A (a) - A (1) \cdot A (2 a - 1) = 2 A (1)$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula $det (A (1))$ , trebuie mai întâi să determini explicit matricea $A (1)$ .
a)
Înlocuiește valoarea $a = 1$ în expresia generală a matricei $A (a)$ .
a)
Folosește formula determinantului pentru o matrice de ordinul 2: $det (p r q s) = p s - q r$ .
b)Expresia implică operații cu matrici: adunare, înmulțire și substituție.
b)
Calculează separat matricea $A (a + b)$ și produsul $A (a) \cdot A (b)$ , apoi efectuează scăderea.
b)
Reține formula de înmulțire a două matrici de ordinul 2 și aplic-o pentru $A (a) \cdot A (b)$ , apoi simplifică termenii.
c)Folosește rezultatul de la subpunctul b) pentru a simplifica termenii de tip produs de matrici din ecuație.
c)
Din relația de la b), $A (x + y) - A (x) \cdot A (y) = x y A (1)$ , poți deduce o expresie pentru $A (x) \cdot A (y)$ . Aplică această formă pentru $A (a) \cdot A (a)$ și $A (1) \cdot A (2 a - 1)$ .
c)
După ce înlocuiești produsele de matrici cu formele simplificate, vei obține o ecuație care implică doar $A (2 a)$ și $A (1)$ . Simplifică această ecuație și vei ajunge la o ecuație de gradul doi în $a$ .

Matrice și sisteme, din alte variante, de la ușor la greu.