Matematică

Matrice și sisteme — Subiectul II. 1

mediuBacalaureat 2026 · Varianta 2 · științe ale naturii

Matrice și sistemeEcuații și inecuații

Se consideră matricele

I_{2} = (1001)

și

A (x) = (2 x + 1 4 x 0 x + 1)

, unde

x

este număr real.

a)
Arătați că $det (A (1)) = 6$ .
b)
Determinați numărul real $x$ pentru care $A (- 2) \cdot A (1) - 4 I_{2} = A (x)$ .
c)
Demonstrați că $det (A (x) + A (\frac{1}{x}) - 2 I_{2}) \geq 8$ , pentru orice număr real nenul $x$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula $det (A (1))$ , primul pas este să determini explicit matricea $A (1)$ .
a)
Reține că determinantul unei matrice de ordinul doi $(a c b d)$ este $a d - b c$ .
a)
Înlocuiește $x = 1$ în expresia lui $A (x)$ pentru a obține $A (1)$ , apoi aplică formula determinantului.
b)
Pentru a determina $x$ , trebuie să calculezi fiecare termen din ecuația matricială $A (- 2) \cdot A (1) - 4 I_{2} = A (x)$ și apoi să egalezi matricele.
b)Amintește-ți regulile de înmulțire a matricelor și de înmulțire a unei matrice cu un scalar.
b)
Calculează $A (- 2)$ și $A (1)$ , apoi efectuează produsul $A (- 2) \cdot A (1)$ . Scade $4 I_{2}$ din rezultat și egalează matricea obținută cu $A (x)$ pentru a găsi $x$ .
c)
Pentru a demonstra inegalitatea, începe prin a calcula explicit matricea $M = A (x) + A (\frac{1}{x}) - 2 I_{2}$ .
c)
După ce ai obținut matricea $M$ , calculează determinantul acesteia, $det (M)$ .
c)
Odată ce ai expresia pentru $det (M)$ , încearcă să o rescrii folosind o formă pătratică sau o inegalitate fundamentală, cum ar fi $(a - b)^{2} \geq 0$ , pentru a demonstra că este mai mare sau egală cu $8$ .

Matrice și sisteme, din alte variante, de la ușor la greu.