Matematică

Matrice și sisteme — Subiectul II. 1

mediuBacalaureat 2026 · Varianta Model · științe ale naturii

Matrice și sisteme

Se consideră matricele

I_{2} = (1001)

și

A (x) = (x - 1 1 - x 1 x - 5)

, unde

x

este număr real.

a)
Arătați că $det (A (6)) = 10$ .
b)
Determinați numărul real $a$ pentru care $A (3) \cdot A (3) = a I_{2}$ .
c)
Demonstrați că numărul $N = det (A (m) \cdot A (2) - A (m - 1))$ este natural, pentru orice număr întreg $m$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula $det (A (6))$ , mai întâi trebuie să determini matricea $A (6)$ înlocuind valoarea $x = 6$ în expresia generală a matricei $A (x)$ .
a)
Reține că determinantul unei matrice de ordinul doi, $(a c b d)$ , se calculează după formula $a d - b c$ .
a)
După ce ai obținut matricea $A (6)$ , aplică formula determinantului pentru a demonstra că valoarea este $10$ .
b)
Problema îți cere să găsești o valoare $a$ pentru o egalitate de matrici. Începe prin a calcula matricea $A (3)$ și apoi produsul $A (3) \cdot A (3)$ .
b)
Pentru a înmulți două matrici, reține că elementul de pe poziția $(i, j)$ din matricea produs este suma produselor elementelor de pe linia $i$ din prima matrice cu elementele de pe coloana $j$ din a doua matrice. De asemenea, $I_{2}$ este matricea unitate de ordinul doi, $(1001)$ .
b)
Calculează $A (3)$ , apoi efectuează înmulțirea $A (3) \cdot A (3)$ , și egalează rezultatul cu $a I_{2}$ pentru a determina valoarea lui $a$ .
c)
Pentru a demonstra că $N$ este un număr natural, trebuie să calculezi determinantul expresiei matriciale $A (m) \cdot A (2) - A (m - 1)$ . Urmează ordinea operațiilor: înlocuiește $x$ cu $m$ , $2$ și respectiv $m - 1$ în matricea $A (x)$ , apoi efectuează înmulțirea și scăderea matricilor.
c)
Reține regulile de înmulțire și scădere a matricilor. După ce ai obținut matricea rezultată din $A (m) \cdot A (2) - A (m - 1)$ , calculează-i determinantul.
c)
Odată ce ai obținut expresia lui $N$ în funcție de $m$ , analizează-o pentru a arăta că este întotdeauna un număr natural pentru orice număr întreg $m$ . Gândește-te la produsul a două numere întregi consecutive sau la semnul expresiei pentru diferite valori ale lui $m$ .

Exersează același capitol

Matrice și sisteme, din alte variante, de la ușor la greu.

Vezi toate cele 102 exerciții din Matrice și sisteme →