Matematică

Matrice și sisteme — Subiectul II. 1

mediuBacalaureat 2026 · Varianta 3 · științe ale naturii

Matrice și sisteme

Se consideră matricele

I_{2} = (1001)

și

A (a) = (2 a + 2 a - 3 - a 1)

, unde

a

este număr real.

a)
Arătați că $det (A (1)) = 2$ .
b)
Determinați numărul real $x$ pentru care $A (0) \cdot (6 I_{2} - A (2) - A (- 2)) = x I_{2}$ .
c)
Determinați matricea $X \in M_{2} (R)$ pentru care $A (1) \cdot X \cdot A (1) = 4 I_{2}$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a calcula determinantul unei matrice, trebuie să știi formula specifică pentru matricele de ordinul 2.
a)
Dacă ai o matrice $M = (a c b d)$ , atunci determinantul ei este $det (M) = a d - b c$ .
a)
Începe prin a substitui $a = 1$ în expresia matricei $A (a)$ pentru a obține matricea $A (1)$ , apoi aplică formula determinantului.
b)Acest subpunct implică operații cu matrice: înlocuirea parametrului, înmulțirea cu scalar, adunarea/scăderea matricelor și înmulțirea matricelor.
b)
Începe prin a calcula fiecare matrice $A (0)$ , $A (2)$ , $A (- 2)$ și $6 I_{2}$ . Apoi, efectuează operațiile din paranteză, respectând ordinea operațiilor.
b)
Calculează $A (0)$ , $A (2)$ , $A (- 2)$ și apoi calculează expresia $6 I_{2} - A (2) - A (- 2)$ . La final, efectuează înmulțirea matricelor $A (0) \cdot (6 I_{2} - A (2) - A (- 2))$ și egalează rezultatul cu $x I_{2}$ pentru a-l determina pe $x$ .
c)
Pentru a izola matricea $X$ într-o ecuație de tipul $M \cdot X \cdot M = N$ , trebuie să folosești conceptul de matrice inversă.
c)
Deoarece $det (A (1)) \neq = 0$ (conform subpunctului a)), matricea $A (1)$ este inversabilă. Înmulțește ecuația la stânga și la dreapta cu inversa matricei $A (1)$ , adică $A (1)^{- 1}$ . Reține că pentru o matrice $M = (a c b d)$ , inversa este $M^{- 1} = \frac{1}{d e t ( M )} (d - c - b a)$ .
c)
Calculează $A (1)^{- 1}$ folosind formula. Apoi, folosește proprietatea că $A (1)^{- 1} \cdot A (1) = I_{2}$ pentru a simplifica ecuația și a exprima $X$ în funcție de $A (1)^{- 1}$ și $I_{2}$ .

Exersează același capitol

Matrice și sisteme, din alte variante, de la ușor la greu.

Vezi toate cele 102 exerciții din Matrice și sisteme →