Matematică

Primitive și integrale, Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2024 · Varianta 10 · științe ale naturii

Primitive și integrale

Se consideră funcția

f : (- 1, + \infty) \to R

f (x) = \frac{x + 3}{x + 1}

a)
Arătați că $\int_{0}^{2} (x + 1) f (x) d x = 8$ .
b)
Arătați că $\int_{0}^{1} f (x) d x = 1 + 2 ln 2$ .
c)
Determinați numărul real $a$ pentru care $\int_{1}^{2} (x^{2} - 1) e^{x} f (x) d x = e (e + a)$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Primul pas este să simplificați expresia de sub integrală, înlocuind funcția $f (x)$ cu forma sa explicită.
a)
Observați că termenul $(x + 1)$ din integrală se va simplifica cu numitorul funcției $f (x)$ .
a)
Calculați integrala definită a expresiei simplificate $\int_{0}^{2} (x + 3) d x$ și evaluați-o între limitele de integrare.
b)
Pentru a integra funcția $f (x)$ , rescrieți-o într-o formă mai simplă, folosind împărțirea polinoamelor sau descompunerea în fracții simple.
b)
Puteți scrie $f (x) = \frac{x + 3}{x + 1} = \frac{x + 1 + 2}{x + 1} = 1 + \frac{2}{x + 1}$ .
b)
Integrați fiecare termen separat: $\int_{0}^{1} 1 d x + \int_{0}^{1} \frac{2}{x + 1} d x$ . Nu uitați că $\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣ + C$ .
c)
Începeți prin a simplifica expresia de sub integrală, înlocuind $f (x)$ și folosind formula de descompunere $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ .
c)
După simplificare, veți obține o integrală de forma $\int_{1}^{2} (x - 1) (x + 3) e^{x} d x = \int_{1}^{2} (x^{2} + 2 x - 3) e^{x} d x$ .
c)
Observați că expresia $(x^{2} + 2 x - 3) e^{x}$ este derivata unui produs de funcții. Încercați să identificați o funcție $G (x)$ astfel încât $G^{'} (x) = (x^{2} + 2 x - 3) e^{x}$ . Un indiciu util este să considerați derivata lui $(x^{2} - 3) e^{x}$ .

Primitive și integrale, din alte variante, de la ușor la greu.