Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2024 · Varianta 10 · științe ale naturii

Primitive și integrale

Se consideră funcția

f : (- 1, + \infty) \to R

f (x) = \frac{x + 3}{x + 1}

a)
Arătați că $\int_{0}^{2} (x + 1) f (x) d x = 8$ .
b)
Arătați că $\int_{0}^{1} f (x) d x = 1 + 2 ln 2$ .
c)
Determinați numărul real $a$ pentru care $\int_{1}^{2} (x^{2} - 1) e^{x} f (x) d x = e (e + a)$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Începeți prin a simplifica expresia de sub integrală înainte de a calcula primitiva.
a)Substituiți funcția f(x) în expresia (x+1)f(x) și efectuați simplificările algebrice.
a)După simplificare, veți obține o funcție polinomială simplă de integrat: ∫(x+3)dx.
b)Pentru a integra funcția f(x), este util să rescrieți fracția într-o formă mai simplă.
b)Folosiți împărțirea polinoamelor sau descompunerea în fracții simple pentru a rescrie f(x) = (x+3)/(x+1) ca o sumă de termeni mai ușor de integrat.
b)Rescrieți f(x) ca 1 + 2/(x+1) și apoi integrați fiecare termen separat, folosind faptul că ∫1/(ax+b) dx = (1/a)ln|ax+b| + C.
c)Simplificați expresia de sub integrală cât mai mult posibil înainte de a aplica metode de integrare.
c)Substituiți f(x) și observați că (x^2-1) se poate descompune ca (x-1)(x+1), ceea ce permite simplificări cu numitorul lui f(x).
c)După simplificare, veți obține o integrală de forma ∫P(x)e^x dx. Încercați să identificați o funcție Q(x) astfel încât P(x)e^x să fie derivata unei funcții de forma Q(x)e^x, adică (Q(x)e^x)' = (Q'(x) + Q(x))e^x.