Matematică

Derivate și funcții — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2024 · Varianta 10 · științe ale naturii

Derivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + x + 4}

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{2 ( 4 - x ^{2} )}{( x ^{2} + x + 4 ) ^{2}}$ , $x \in R$ .
b)
Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+ \infty$ la graficul funcției $f$ .
c)
Arătați că $f (x) - f (4 - x) \leq 1$ , pentru orice $x \in [4, + \infty)$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a calcula derivata unei funcții de forma f(x) = u(x)/v(x), trebuie să aplicați regula de derivare a câtului.
a)Formula de derivare a câtului este (u/v)' = (u'v - uv') / v².
a)Identificați u(x) = 2x și v(x) = x² + x + 4, calculați derivatele u'(x) și v'(x), apoi înlocuiți în formulă și simplificați expresia obținută la numărător.
b)Asimptota orizontală a unei funcții se determină calculând limita funcției la infinit.
b)Pentru a găsi ecuația asimptotei orizontale spre +∞, trebuie să calculați lim (x→+∞) f(x).
b)Calculați limita lim (x→+∞) (2x / (x² + x + 4)) împărțind atât numărătorul, cât și numitorul la cea mai mare putere a lui x din numitor.
c)Inegalitățile care implică funcții pe un interval pot fi adesea demonstrate prin analiza monotoniei funcției, folosind semnul derivatei.
c)Observați că 4-x este punctul simetric lui x față de 2. Analizați cum se comportă funcția pe intervalele relevante pentru x (adică [4, +∞)) și pentru 4-x (adică (-∞, 0]).
c)Folosiți informațiile despre monotonie (obținute din semnul lui f'(x)) pentru a stabili o relație de majorare pentru f(x) și o relație de minorare pentru f(4-x) pe intervalele corespunzătoare, apoi evaluați funcția în punctele critice (de exemplu, f(4) și f(-2)).