Matematică

Derivate și funcții, Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2024 · Varianta 10 · științe ale naturii

Derivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + x + 4}

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{2 ( 4 - x ^{2} )}{( x ^{2} + x + 4 ) ^{2}}$ , $x \in R$ .
b)
Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+ \infty$ la graficul funcției $f$ .
c)
Arătați că $f (x) - f (4 - x) \leq 1$ , pentru orice $x \in [4, + \infty)$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula derivata unei funcții de forma $\frac{u ( x )}{v ( x )}$ , folosește regula de derivare a câtului.
a)
Formula specifică este $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ . Identifică $u (x)$ și $v (x)$ și calculează derivatele lor.
a)
Aplică formula cu $u (x) = 2 x$ și $v (x) = x^{2} + x + 4$ , apoi simplifică expresia obținută la numărător până ajungi la forma cerută.
b)
Asimptota orizontală spre $+ \infty$ se determină calculând limita funcției când $x \to + \infty$ .
b)
Calculează $lim_{x \to + \infty} f (x)$ . Dacă această limită este un număr real $L$ , atunci dreapta $y = L$ este asimptota orizontală.
b)
Pentru a calcula limita unei funcții raționale la infinit, împarte atât numărătorul, cât și numitorul la cea mai mare putere a lui $x$ din numitor.
c)Pentru a demonstra o inegalitate de acest tip, este util să analizezi comportamentul funcției, în special monotonia ei, folosind derivata.
c)
Determină intervalele de monotonie ale funcției $f$ studiind semnul lui $f^{'} (x)$ . Află punctele de extrem local și valoarea minimă a funcției pe intervalul $(- \infty, 0]$ .
c)
Folosește faptul că $f$ este descrescătoare pe $[4, + \infty)$ pentru a stabili o inegalitate pentru $f (x)$ . Apoi, pentru $4 - x \in (- \infty, 0]$ , folosește punctul de minim local pentru a stabili o inegalitate pentru $f (4 - x)$ . Calculează $f (4)$ și $f (- 2)$ .

Derivate și funcții, din alte variante, de la ușor la greu.