Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2025 · Varianta 3 · științe ale naturii

Primitive și integraleDerivate și funcții

Se consideră funcția

f : (0, + \infty) \to R

f (x) = 6 x + \frac{2 l n x}{x}

a)
Arătați că $\int_{2}^{3} (f (x) - \frac{2 l n x}{x}) d x = 15$ .
b)
Arătați că $\int_{1}^{e} (f (x) - 6 x) d x = 1$ .
c)
Determinați numărul real $a$ pentru care $\int_{1}^{e^{2}} (\frac{f ( x )}{x} + f^{'} (x) ln x) d x = a f (e^{2})$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Primul pas este să simplificați expresia din interiorul integralei, folosind definiția funcției $f (x)$ .
a)
Substituiți $f (x) = 6 x + \frac{2 l n x}{x}$ în integrală și observați ce termeni se reduc.
a)
După simplificare, calculați integrala definită a funcției polinomiale obținute, evaluând-o în limitele de integrare $2$ și $3$ .
b)
Începeți prin a înlocui expresia funcției $f (x)$ în integrand și simplificați.
b)
Veți obține o integrală de forma $\int \frac{2 l n x}{x} d x$ . Recunoașteți că $\frac{1}{x}$ este derivata lui $ln x$ .
b)
Folosiți o substituție $u = ln x$ sau recunoașteți forma $\int 2 u \cdot u^{'} d x$ pentru a calcula primitiva, apoi evaluați în limitele de integrare $1$ și $e$ .
c)
Analizați integrandul $\frac{f ( x )}{x} + f^{'} (x) ln x$ . Încercați să-l rescrieți ca derivata unui produs de funcții.
c)
Gândiți-vă la regula de derivare a unui produs $(u (x) v (x))^{'} = u^{'} (x) v (x) + u (x) v^{'} (x)$ . Identificați $u (x)$ și $v (x)$ astfel încât derivata lor să corespundă integrandului.
c)
Calculați derivata funcției $f (x) ln x$ și veți observa că aceasta este exact expresia din integrală. Apoi, aplicați teorema fundamentală a calculului integral și egalați rezultatul cu $a f (e^{2})$ .

Primitive și integrale, din alte variante, de la ușor la greu.