Matematică

Structuri algebrice — Subiectul II. 2

mediuBacalaureat 2026 · Varianta Simulare · științe ale naturii

Structuri algebrice

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

x \circ y = \frac{1}{6} (x - 5) (y - 5) + 5

, cu elementul neutru

e = 11

a)
Arătați că $7 \circ 8 = 6$ .
b)
Determinați numerele reale $x$ pentru care $x \circ (6 x - 1) = 10$ .
c)
Determinați numerele naturale $n$ , $n \neq = 5$ , ale căror simetrice în raport cu legea de compoziție „ $\circ$ ” sunt numere naturale pare.

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a arăta că $7 \circ 8 = 6$ , trebuie să aplici direct definiția legii de compoziție date.
a)
Reține că legea de compoziție este definită ca $x \circ y = \frac{1}{6} (x - 5) (y - 5) + 5$ .
a)
Înlocuiește $x = 7$ și $y = 8$ în formula legii de compoziție și efectuează calculele.
b)
Pentru a determina numerele reale $x$ care satisfac ecuația $x \circ (6 x - 1) = 10$ , primul pas este să aplici definiția legii de compoziție pentru membrul stâng.
b)
Folosește formula $x \circ y = \frac{1}{6} (x - 5) (y - 5) + 5$ , unde înlocuiești $y$ cu expresia $6 x - 1$ .
b)
După ce ai aplicat legea de compoziție, vei obține o ecuație de gradul al doilea în $x$ . Rezolvă această ecuație pentru a găsi valorile lui $x$ .
c)
Problema cere să găsești numerele naturale $n$ al căror simetric $n^{'}$ este un număr natural par. Începe prin a determina formula generală a simetricului unui element $x$ în raport cu legea de compoziție dată.
c)
Reține că simetricul $x^{'}$ al unui element $x$ este definit prin $x \circ x^{'} = e$ , unde $e = 11$ este elementul neutru. Folosește această relație pentru a-l exprima pe $x^{'}$ în funcție de $x$ .
c)
Odată ce ai formula pentru $n^{'}$ , impune condițiile ca $n^{'}$ să fie un număr natural par și $n$ un număr natural diferit de $5$ . Aceasta te va ajuta să găsești valorile posibile pentru $n$ .

Structuri algebrice, din alte variante, de la ușor la greu.