Matematică

Structuri algebrice — Subiectul II. 2

mediuBacalaureat 2025 · Varianta 9 · științe ale naturii

Structuri algebriceEcuații și inecuații

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

x \circ y = \frac{1}{4} (x + 1) (y + 1) - 1

a)
Arătați că $1 \circ 5 = 2$ .
b)
Arătați că $e = 3$ este elementul neutru al legii de compoziție „ $\circ$ ”.
c)
Determinați perechile $(m, n)$ de numere naturale, cu $m \leq n$ , pentru care $m \circ n = 3$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a arăta că o expresie cu o lege de compoziție are o anumită valoare, trebuie să aplici direct definiția legii.
a)
Folosește definiția $x \circ y = \frac{1}{4} (x + 1) (y + 1) - 1$ și înlocuiește $x$ și $y$ cu valorile date.
a)
Calculează $1 \circ 5 = \frac{1}{4} (1 + 1) (5 + 1) - 1$ și verifică rezultatul.
b)
Reține că un element $e$ este element neutru pentru o lege de compoziție „ $\circ$ ” dacă, pentru orice $x$ din mulțime, $x \circ e = e \circ x = x$ .
b)
Pentru a arăta că $e = 3$ este element neutru, trebuie să verifici dacă $x \circ 3 = x$ pentru orice $x \in R$ .
b)
Înlocuiește $y$ cu $3$ în formula legii de compoziție $x \circ y = \frac{1}{4} (x + 1) (y + 1) - 1$ și simplifică expresia obținută.
c)Problema îți cere să rezolvi o ecuație în care necunoscutele sunt numere naturale și sunt legate prin legea de compoziție.
c)
Scrie ecuația $m \circ n = 3$ folosind definiția legii de compoziție, adică $\frac{1}{4} (m + 1) (n + 1) - 1 = 3$ , și izolează produsul $(m + 1) (n + 1)$ .
c)
Odată ce ai $(m + 1) (n + 1) = K$ , caută perechi de factori ai lui $K$ care respectă condiția $m \leq n$ (ceea ce implică $m + 1 \leq n + 1$ ) și faptul că $m, n$ sunt numere naturale (deci $m + 1 \geq 1$ și $n + 1 \geq 1$ ).

Structuri algebrice, din alte variante, de la ușor la greu.