Matematică

Structuri algebrice — Subiectul II. 2

mediuBacalaureat 2025 · Varianta Model · științe ale naturii

Structuri algebrice

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

x \circ y = (x - 6) (y - 6) + 6

a)
Arătați că $9 \circ 8 = 12$ .
b)
Arătați că $e = 7$ este elementul neutru al legii de compoziție „ $\circ$ ”.
c)
Determinați numerele reale nenule $x$ pentru care $x \circ \frac{6}{x} = 6 x$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a arăta că $9 \circ 8 = 12$ , trebuie să aplici direct definiția legii de compoziție dată.
a)
Legea de compoziție este $x \circ y = (x - 6) (y - 6) + 6$ . Înlocuiește $x$ cu $9$ și $y$ cu $8$ în această formulă.
a)
Calculează valoarea expresiei $(9 - 6) (8 - 6) + 6$ și verifică dacă rezultatul este $12$ .
b)
Reține definiția elementului neutru $e$ pentru o lege de compoziție: pentru orice $x$ din mulțime, trebuie să ai $x \circ e = x$ și $e \circ x = x$ .
b)
Pentru a verifica dacă $e = 7$ este element neutru, trebuie să arăți că $x \circ 7 = x$ și $7 \circ x = x$ pentru orice număr real $x$ .
b)
Calculează $x \circ 7$ folosind formula legii de compoziție: $x \circ 7 = (x - 6) (7 - 6) + 6$ . Simplifică expresia și vezi dacă obții $x$ .
c)
Începe prin a calcula expresia $x \circ x$ folosind definiția legii de compoziție.
c)
Odată ce ai expresia pentru $x \circ x$ , egaleaz-o cu $6 x$ și rezolvă ecuația rezultată: $(x - 6) (x - 6) + 6 = 6 x$ .
c)
Dezvoltă expresia $(x - 6)^{2} + 6$ , adună termenii similari și rezolvă ecuația de gradul al doilea obținută, ținând cont că $x$ trebuie să fie nenul.

Structuri algebrice, din alte variante, de la ușor la greu.