Matematică

Matrice și sisteme — Subiectul II. 1

mediuBacalaureat 2025 · Varianta 3 · științe ale naturii

Matrice și sisteme

Se consideră matricele

I_{2} = (1001)

și

A (x) = (2 + 2 x - x x 2 - 2 x)

, unde

x

este număr real.

a)
Arătați că $det (A (1)) = 1$ .
b)
Arătați că $A (2) \cdot A (1) + 3 A (- 2) = 16 I_{2}$ .
c)
Determinați numărul întreg nenul $m$ pentru care matricea $B (m) = \frac{1}{m} A (- m)$ este inversa matricei $A (m)$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Primul pas este să substitui valoarea lui $x$ în expresia matricei $A (x)$ pentru a obține matricea $A (1)$ .
a)
Reține formula pentru determinantul unei matrici de ordinul doi: dacă $M = (a c b d)$ , atunci $det (M) = a d - b c$ .
a)
Calculează $A (1)$ prin înlocuirea lui $x = 1$ în $A (x)$ , apoi aplică formula determinantului pentru matricea obținută.
b)Acest subpunct implică mai multe operații cu matrici: substituție, înmulțire cu scalar, înmulțire de matrici și adunare de matrici.
b)
Reamintește-ți cum se realizează înmulțirea a două matrici $2 \times 2$ și cum se înmulțește o matrice cu un scalar.
b)
Calculează pe rând matricile $A (2)$ , $A (1)$ și $A (- 2)$ prin substituție, apoi efectuează înmulțirea $A (2) \cdot A (1)$ și înmulțirea cu scalar $3 A (- 2)$ înainte de a le aduna.
c)Reamintește-ți definiția matricei inverse și proprietatea fundamentală a acesteia.
c)
Dacă $B (m)$ este inversa matricei $A (m)$ , atunci produsul lor este matricea unitate: $A (m) \cdot B (m) = I_{2}$ .
c)
Înlocuiește $B (m)$ cu expresia dată și efectuează înmulțirea $A (m) \cdot \frac{1}{m} A (- m)$ , apoi egalează rezultatul cu $I_{2}$ pentru a obține o ecuație în $m$ . Nu uita că $m$ trebuie să fie un număr întreg nenul.

Matrice și sisteme, din alte variante, de la ușor la greu.