Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2026 · Varianta 2 · tehnologic

Primitive și integraleNumere reale și radicaliTrigonometrie

Se consideră funcția

f : (- 4, + \infty) \to R

f (x) = \frac{4 x}{x + 4}

a)
Arătați că $\int_{0}^{2} f (x) \cdot x + 4 d x = 8$ .
b)
Arătați că $\int_{5}^{12} \frac{1}{2 x} \cdot f (x) d x = 4$ .
c)
Se consideră $a \in (0, + \infty)$ și funcția $g : [a, a + 8] \to R$ , $g (x) = \frac{f ( x )}{4 x}$ . Determinați $a \in (0, + \infty)$ pentru care volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $g$ în jurul axei $O x$ este egal cu $4 π (2 - ln 2)$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Primul pas este să înlocuiți expresia funcției $f (x)$ în integrală și să simplificați termenii.
a)
După înlocuire, veți observa că termenul $x + 4$ se va simplifica, lăsând o integrală mult mai simplă.
a)
Expresia de integrat se va reduce la $4 x$ . Apoi, calculați primitiva și evaluați-o la limitele de integrare $0$ și $2$ .
b)
Începeți prin a înlocui $f (x)$ cu expresia sa în integrală și simplificați termenii algebrici.
b)
După simplificare, veți ajunge la o integrală de forma $\int \frac{C}{x + k} d x$ . Amintiți-vă că primitiva lui $\frac{1}{2 u}$ este $u$ .
b)
Integrala se va simplifica la $\int_{5}^{12} \frac{2}{x + 4} d x$ . Puteți rescrie integrantul ca $4 \cdot \frac{1}{2 x + 4}$ pentru a identifica mai ușor primitiva.
c)
Pentru a calcula volumul corpului de rotație în jurul axei $O x$ , folosiți formula $V = π \int_{a}^{a + 8} [g (x)]^{2} d x$ .
c)
Calculați mai întâi $[g (x)]^{2}$ . Veți obține o fracție rațională, pe care o puteți rescrie pentru a o integra mai ușor.
c)
După ce ați calculat $[g (x)]^{2} = \frac{x}{x + 4}$ , rescrieți integrantul ca $1 - \frac{4}{x + 4}$ . Apoi, integrați această expresie și egalați rezultatul cu volumul dat pentru a determina valoarea lui $a$ .

Primitive și integrale, din alte variante, de la ușor la greu.